Satz von Pfister

Der Satz von Pfister, benannt nach Albrecht Pfister, beschäftigt sich mit der Frage, wann Produkte von Summen von $n$ Quadraten wieder als Summen von $n$ Quadraten geschrieben werden können.

Einleitung

Schon seit dem Altertum ist bekannt, dass ein Produkt von Summen zweier Quadrate wieder als eine Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann. Genauer kann man zu gegebenen $x_{1},x_{2}$ und $y_{1},y_{2}$ bilineare Formeln $z_{i}=B_{i}((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))$ angeben, so dass stets $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+y_{2}^{2})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ gilt, siehe Brahmagupta-Identität. Eine Verallgemeinerung auf endliche Folgen $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ gelingt nach dem Kompositionssatz von Hurwitz neben dem trivialen Fall $n=1$ nur noch für $n=4$ (Eulerscher Vier-Quadrate Satz) und $n=8$ (Degens Acht-Quadrate Satz). Wegen der Bilinearität gilt dann in beliebigen kommutativen Ringen für $n\in \{1,2,4,8\}$, dass ein Produkt von Summen von $n$ Quadraten wieder eine Summe von $n$ Quadraten sind.

Um hier zu weiteren Ergebnissen zu kommen, muss man die bilineare Abhängigkeit der $z_{i}$ von $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ aufgeben. Man kann dies durch lineare Abhängigkeit von $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und rationale Abhängigkeit von $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ ersetzen und erhält dann Aussagen, die nicht mehr in allen kommutativen Ringen, sondern nur noch in allen Körpern gelten. Bezeichnet man die Menge der von 0 verschiedenen Quadratsummen $x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}$ der Länge $n$ eines Körpers $K$ mit $D(n\langle 1\rangle ,K)$ (eine Bezeichnung aus der Theorie der Bilinearformen), so stellt sich also die Frage, wann diese Teilmenge des Körpers multiplikativ abgeschlossen ist. Wenn dies der Fall ist, dann liegt sogar eine Gruppe vor, denn die Abgeschlossenheit gegenüber Inversenbildung ergibt sich aus folgender einfacher Rechnung:

Ist $q=x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\not =0$, so ist ${\frac {1}{q}}={\frac {q}{q^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{q^{2}}}=\left({\frac {x_{1}}{q}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {x_{n}}{q}}\right)^{2}$.

Der folgende Satz verallgemeinert die bisher genannten Ergebnisse in leicht abgeschwächter Form:

Formulierung des Satzes

Für jede Zweierpotenz $n=2^{m}$ und jeden Körper $K$ ist $D(n\langle 1\rangle ,K)$ eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe des Körpers.

Ist $n=2^{m}$, so gibt es für das Bestehen der Gleichung

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{2}$

Formeln für $z_{i}$ von der Form $z_{i}=\sum _{k=1}^{n}R_{k,j}(y_{1},\ldots ,y_{n})\cdot x_{k}$, wobei die $R_{k,j}$ rationale Funktionen aus $K(Y_{1},\ldots ,Y_{n})$ sind.

Bemerkungen

Dass obiger Satz für alle Zweierpotenzen gilt, ist auf Grund der zuvor bekannten Ergebnisse für $n\in \{1,2,4,8\}$ nicht unplausibel. Dennoch stellt sich die Frage, ob es noch weitere Zahlen $n$ gibt, für die das richtig ist. Das hängt natürlich vom betrachteten Körper ab. Für den Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist offenbar $D(n\langle 1\rangle ,\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{+}$, denn jede positive Zahl lässt sich als Summe von beliebig vielen Quadraten schreiben, und $\mathbb {R} ^{+}$ ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe von $\mathbb {R}$, das heißt $D(n\langle 1\rangle ,\mathbb {R} )$ ist für jedes $n$ eine Untergruppe. Für den Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} der rationalen Zahlen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(n\langle 1\rangle,\Q) = \Q^+} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\ge 4} , denn jede rationale Zahl ist Summe von vier Quadraten, wie man leicht aus dem Vier-Quadrate-Satz schließen kann, das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(n\langle 1\rangle,\Q)} ist für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\ge 4} eine Untergruppe. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(3\langle 1\rangle,\Q)} ist keine Untergruppe, denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15 = 5\cdot 3 = (2^2+1^2+0^2)\cdot (1^2+1^2+1^2)} kann nicht als Summe von drei rationalen Quadraten geschrieben werden. Im Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = \R(X_1, X_2, \ldots)} der rationalen Funktionen in unendlich vielen Unbestimmten über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(n\langle 1\rangle,K)} nur für Zweierpotenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eine Untergruppe. Daher gibt es neben den Zweierpotenzen keine weiteren Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(n\langle 1\rangle,K)} für jeden Körper eine Untergruppe ist.

Da nach dem Kompositionssatz von Hurwitz die Beziehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right) = \sum_{i=1}^nz_i^2} nur im Falle der Zweierpotenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\in \{1,2,4,8\}} mit bilinearen Formeln für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_i} bestehen kann, müssen für Zweierpotenzen ab 16 notwendigerweise Nenner in den Formeln für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_i} auftreten. Wie solche Formeln dann aussehen, zeigt Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität.