Satz von Phragmén-Lindelöf

Der Satz von Phragmén-Lindelöf (auch Prinzip von Phragmén-Lindelöf) ist ein mathematischer Satz für analytische Funktionen, welcher das Maximumprinzip verallgemeinert. Es existieren verschiedene Varianten und Verallgemeinerungen des Satzes (z. B. von Peter D. Lax für elliptische partielle Differentialgleichung).

Das Theorem ist nach Lars Phragmén und Ernst Leonard Lindelöf benannt.

Satz von Phragmén-Lindelöf

Mit $\mathrm {\partial } _{\infty }D$ bezeichnet man den erweiterten Rand $\mathrm {\partial } _{\infty }D:=\mathrm {\partial } D\cup \{\infty \}$ einer Menge $D$.

Sei $f(z)$ holomorph auf einem einfach zusammenhängenden Raum $D$ und $M$ eine Konstante. Nehme an, es existiere eine auf $D$ holomorphe Funktion $w(z)\neq 0$ welche beschränkt auf $D$ ist. Falls der Rand $\partial _{\infty }D=A\cup B$ so dass

1. für jedes $a\in A$, $\limsup _{z\to a}|f(z)|\leq M$.
2. für jedes $b\in B$ und $r>0$, $\limsup _{z\to b}|f(z)||w(z)|^{r}\leq M$.

Dann gilt für alle $z\in D$, dass $|f(z)|\leq M$.