Carlyle-Kreis

Quadratische Funktion mit zugehörigem Carlyle-Kreis

Der Carlyle-Kreis (auch Lill-Kreis) ist ein spezieller Kreis im kartesischen Koordinatensystem, dessen Schnittpunkte mit der x-Achse mit den Schnittpunkten einer normierten quadratischen Funktion und der x-Achse übereinstimmen. Er kann damit zur geometrischen Konstruktion der Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion verwandt werden.

Definition und Eigenschaften

Für eine normierte quadratische Funktion $f(x)=x^{2}+px+q$ ist der Carlyle-Kreis definiert als derjenige Kreis, der die Verbindungsstrecke $AD$ der Punkte $A(0|1)$ und $D(-p|q)$ als Durchmesser besitzt.

Der so definierte Kreis besitzt den Mittelpunkt $M=\left({\tfrac {-p}{2}}|{\tfrac {q+1}{2}}\right)$, den Radius $r={\tfrac {\sqrt {p^{2}+(q-1)^{2}}}{2}}$ und die x-Koordinaten seiner Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion. Letzteres sieht man, indem man die Schnittpunkte mit der x-Achse in der Kreisgleichung betrachtet:

$\left(x-{\tfrac {-p}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\tfrac {q+1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {p^{2}+(q-1)^{2}}{4}}$

Für die Schnittpunkte mit der x-Achse gilt nun zusätzlich, dass ihre y-Koordinate 0 ist. Setzt man dies in der Kreisgleichung ein und löst die Gleichung dann nach x auf, so erhält man die p-q-Formel, die die Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion berechnet:

$x_{1,2}=-{\tfrac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\tfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

Trapez und Carlyle-Kreis

Ergänzt man die Punkte $A(0|1)$ und $D(-p|q)$ aus der Definition um die Punkte $B(0|0)$ und $C(-p|0)$, so erhält man ein Trapez, dessen Seite $AD$ der Durchmesser des Carlyle-Kreises ist. Dieser schneidet zudem die Seite BC in den Punkten $S_{1}(x_{1}|0)$ und $S_{2}(x_{2}|0)$. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel $\angle AS_{2}D$ ein rechter Winkel, was wiederum zur Folge hat, dass die Dreiecke $\triangle ABS_{2}$ und $\triangle S_{2}CD$ ähnlich sind. Dies liefert dann die folgende Verhältnisgleichung:

${\frac {1}{x_{2}}}={\frac {x_{1}}{q}}\,\Rightarrow \,x_{1}x_{2}=q$

Weiterhin gilt auch $x_{1}+x_{2}=-p$ und damit aufgrund der Umkehrung des Wurzelsatz von Vieta, dass $x_{1}$ und $x_{2}$ Nullstellen von $f(x)=x^{2}+px+q$ sind.

Komplexe Nullstellen einer normierten Parabel mit dem Carlyle-Kreis:
${\begin{aligned}\,&x^{2}+px+q=0\land {\tfrac {p^{2}}{4}}-q<0\\\Rightarrow \,&x_{1,2}=a\pm b\cdot i\end{aligned}}$

Dieser geometrische Nachweis der Eigenschaften des Carlyle-Kreises zeigt zudem, dass er sich als eine Modifikation eines Spezialfalls der Methode von Lill, einem graphischen Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms, auffassen lässt. Bei diesem werden zu einem gegebenen Polynom vom Grad $n$ von einem gemeinsamen Punkt ausgehend zwei Polygonzüge der Längen $n$ und $n-1$ konstruiert. Fallen nun auch deren Endpunkte zusammen, so ist der Tangens des Winkels, den die beiden Polygonzüge am gemeinsamen Ausgangspunkt bilden, eine Nullstelle des Polynoms. Für eine normierte quadratische Funktion erhält man als Polygonzüge $ABCD$ und $AS_{2}D$ und da diese beide in dem gemeinsamen Punkt $D$ enden, ist $\tan(\angle BAS_{2})=x_{2}$ eine Nullstelle der quadratischen Funktion.

Der Carlyle-Kreis kann auch verwandt werden, um die komplexen Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion zu konstruieren. In diesem Fall schneidet er selbst die x-Achse nicht, sondern ein weiterer Kreis, den man mit seiner Hilfe konstruiert. Der identische Realteil $a$ der beiden komplexen Nullstellen entspricht dem vorzeichenbehafteten Abstand der Vertikalen $g$ durch den Mittelpunkt $M$ des Carlyle-Kreis zur y-Achse. Der Mittelpunkt $T$ des zweiten Kreises liegt wie der Carlyle-Kreises auf der Vertikalen $g$ und sein Radius entspricht dem Abstand des Mittelpunktes $M$ des Carlyle-Kreises von der x-Achse. Weiterhin berühren sich beide Kreise von außen. Die Tangente vom Schnittpunkt $S(a|0)$ der Vertikalen $g$ mit der Achse x-Achse an Carlyle-Kreis berührt diesen in $R$ und der zweite Kreis schneidet die x-Achse in $U_{1}$ und $U_{2}$. Der Betrag des Imaginärteils der Nullstelle $b$ entspricht dann der Längen der Strecke $SR$, $SU_{1}$ oder $SU_{2}$.

Polygonkonstruktionen

Wurzeln von $z^{5}=1$ am Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene

Carlyle-Kreise können zur Zirkel-und-Lineal-Konstruktion diverser regulärer Polygone verwandt werden. Hierbei wird benutzt, dass alle Punkte der Ebene mit rationalen Koordinaten prinzipiell mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind; daher ist es möglich, einen Carlyle-Kreis mit Punkt $D(-p|q)$ für $p,q\in \mathbb {Q}$ zu verwenden, ohne die Konstruktionsregeln zu verletzen.

Die prinzipielle Idee, die die Verwendung von Carlyle-Kreisen ermöglicht, besteht darin, die Eckpunkte eines regulären Polygons als die komplexen Wurzeln der Gleichung $z^{n}=1$ auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene aufzufassen. Aus mehreren komplexen Wurzeln leitet man dann zwei neue Zahlen her, die die Nullstellen einer normierten quadratischen Gleichung sind und somit mit Hilfe eines Carlyle-Kreises konstruiert werden können. Die beiden Zahlen sind zudem so gewählt, dass man bei ihrer Kenntnis die für sie verwendeten komplexen Wurzeln, also die Eckpunkte des Polygons, konstruieren kann. Im Folgenden wird dieser Ansatz am Beispiel des Fünfecks beschrieben, darüber hinaus lässt er sich insbesondere auch zur Konstruktion des Siebzehnecks, des 257-Ecks und des 65537-Ecks nutzen.

Pentagonkonstruktion mit dem Carlyle-Kreis (grün)

Die Wurzeln von $z^{5}=1$ sind $Z_{i}=\exp({\tfrac {2\pi }{5}}\cdot i)$ für $i=0,...,4$. Nun wählt man die beiden Zahlen $s_{1}=Z_{2}+Z_{3}$ und $s_{2}=Z_{1}+Z_{4}$. Diese erfüllen die beiden Gleichungen $s_{1}\cdot s_{2}=-1$ und $s_{1}+s_{2}=-1$, damit sind sie Nullstellen der normierten quadratischen Funktion $f(x)=x^{2}+x-1$. Da $Z_{1}$ und $Z_{4}$ und $Z_{2}$ und $Z_{3}$ konjugierte Wurzeln gilt zudem, dass $s_{1}$ und $s_{2}$ dem doppelten Realteil der zugehörigen komplexen Wurzeln entsprechen.

Damit ergibt sich das folgende Konstruktionsverfahren: Man zeichnet zunächst den Einheitskreis und dann den zu $f(x)$ gehörenden Carlyle-Kreis mit $D(-1|-1)$. Um die Schnittpunkte des Carlyle-Kreises mit der x-Achse zeichnet man dann je einen Kreis mit Radius 1. Diese beiden Kreise schneiden den Einheitskreis in $Z_{1},Z_{2},Z_{3}$ und $Z_{4}$ (Konstruktion der Mittelsenkrechten von $s_{1}$ und $s_{2}$). $Z_{0}$ erhält man als Schnittpunkt des Einheitskreises mit der x-Achse, somit sind alle Eckpunkte des Fünfecks konstruiert.

Geschichte

Carlyles Lösung von Leslies Problem. Die schwarze Strecke wird so geteilt, dass ihre Abschnitte ein Rechteck (grün) formen, das flächengleich zu einem vorgegebenen Rechteck (rot) ist.

Howard Eves (1911–2004) zufolge beschrieb der Mathematiker John Leslie (1766–1832) die Nullstellenkonstruktion mit Hilfe des Carlyle-Kreises in seinem Buch Elements of Geometry und merkte dort an, dass sie ihm von einem seiner Schüler, Thomas Carlyle (1795–1881), vorgeschlagen worden war. Die Darstellung bei Leslie enthält zwar eine analoge Kreiskonstruktion, jedoch noch ohne kartesisches Koordinatensystem, quadratische Funktion oder explizite quadratische Gleichung, stattdessen ist sie in eine elementargeometrische Problemstellung zur Konstruktion flächengleicher Rechtecke eingekleidet. Carlyle verwendete dabei Kreis und Trapez, um die Aufgabe zu lösen:

Teile eine Strecke so, dass ihre Abschnitte die Seiten eines neuen Rechtecks bilden, das flächengleich zu einem vorgegebenen Rechteck ist (Proposition XVII in der dritten Ausgabe von John Leslies Elements of Geometry).

Der österreichische Ingenieur und Beamte Eduard Lill publizierte 1867 ein graphisches Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms (Lills Methode); wendet man dieses auf eine normierte quadratische Funktion an, so erhält man das weiter oben erwähnte Trapez $ABCD$ mit $|AB|=1$ und der $AD$ als Durchmesser des Carlyle-Kreises. In einem 1925 veröffentlichten Artikel beschreibt G. A. Miller, dass man aus dem Verfahren von Lill im Falle einer normierten quadratischen Funktion eine Kreiskonstruktion ableiten kann, deren Schnittpunkte mit der x-Achse mit den Nullstellen der quadratischen Funktion übereinstimmen, und liefert damit die moderne Definition des Carlyle-Kreises.

Eves verwendete den Kreis im modernen Sinne für eine Übungsaufgabe in seinem Buch Introduction to the History of Mathematics (1953) und stellte dort in einer Anmerkung den Bezug zu Carlyle her. Spätere Publikationen beginnen dann zunehmend die Bezeichnung Carlyle-Kreis oder Carlyle-Verfahren zu übernehmen. Duane W. DeTemple verwendete den Carlyle-Kreis (1989, 1991), um möglichst einfache Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen bestimmter regelmäßiger Polygone zu erhalten. Ladislav Beran beschrieb 1999, wie man den Carlyle-Kreis verwenden kann, um auch die komplexen Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion geometrisch zu konstruieren.

Literatur

• Rainer Kaenders (Hrsg.), Reinhard Schmidt (Hrsg.): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-658-04222-6, S. 68-71
• Patricia R. Allaire, Robert E. Bradley: Geometric Approaches to Quadratic Equations from Other Times and Places. (PDF; 398 kB) In: The Mathematics Teacher, Vol. 94, No. 4, April 2001, S. 308–313 (JSTOR)
• Duane W. DeTemple: Simple Constructions for the Regular Pentagon and Heptadecagon. In: The Mathematics Teacher, Vol. 82, No. 5 (Mai 1989), S. 361–365 (JSTOR 27966269)
• Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions (PDF) In: The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 97–108 (JSTOR 2323939)
• E. John Hornsby, Jr.: Geometrical and Graphical Solutions of Quadratic Equations (PDF) In: The College Mathematics Journal, Vol. 21, No. 5 (Nov., 1990), S. 362–369 (JSTOR 2686901)
• Walter M. Patterson III, Andre M. Lubecke: A Special Circle for Quadratic Equations. In: The Mathematics Teacher, Vol. 84, No. 2 (Februar 1991), S. 125–127 (JSTOR 27967040)
• G. A. Miller: Geometric Solution of the Quadratic Equation. In: The Mathematical Gazette, Vol. 12, No. 179 (Dez., 1925), S. 500–501 (JSTOR 3602823)
• Ladislav Beran: The Complex Roots of a Quadratic from a Circle. In: The Mathematical Gazette, Vol. 83, No. 497 (Jul., 1999), S. 287–291 (JSTOR 3619064)

Weblinks

Commons: Carlyle circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Carlyle Circle. In: MathWorld (englisch).