Benutzer:MRewald/Formale Begriffsanalyse

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Grenzen

Zu beachten ist Folgendes: Umgangssprachlich wird unter der Vokabel Begriff im Allgemeinen ein Wort verstanden. In den Sprachwissenschaften wird dagegen unter Begriff dessen Bedeutung verstanden. Das Wort Begriff leitet sich hier ab von begreifen. Das Wort selbst, wird in den Sprachwissenschaften dagegen als Symbol, Bezeichner oder Signifikant bezeichnet.

Die Formale Begriffsanalyse lehnt sich an den Wortgebrauch in den Sprachwissenschaften an, bezeichnet ein Wort als Bezeichner und meint mit Begriff dessen Bedeutung (dargestellt durch Begriffsumfang und -inhalt).

Weiterhin zu beachten ist, dass in dem erzeugten Linien-Diagramm zwar die Bezeichner von Gegenständen und Merkmalen dsrgestellt werden, im Allgemeinen die Begriffe aber lediglich als Knoten (Kreise) vorhanden, aber nicht benannt sind.

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Aus einer solchen Tabelle wird ein Begriffsverband ermittelt. Das ist eine abstrakte mathematische Struktur, die grafisch als Liniendiagramm dargestellt werden kann. Es dient der Visualisierung, wie in der Grafik Liniendiagramm entsprechend der Tabelle „Gewässer“ dargestellt.

Den Konventionen folgend sind dabei Merkmale oberhalb des dazugehörigen Knotens dargestellt, die Gegenstände dagegen unterhalb der Knoten.

Glossar

In der Formalen Begriffsanalyse wird eine Reihe von Fachtermini benutzt:

• Begriff: Siehe Formaler Begriff.
• Begriffsinhalt oder Intension: Die Menge der gemeinsamen Merkmale einer Auswahl von Gegenständen.
• Begriffsumfang oder Extension: Die Menge derjenigen Gegenstände, die ausgewählte gemeinsame Merkmale haben.
• Begriffsverband: Alle formalen Begriffe eines Formalen Kontextes, geordnet durch die Unterbegriff-Oberbegriff-Beziehung. Aus mathematischer Sicht ist das stets ein vollständiger Verband.
• Formaler Begriff: Paar aus einem Begriffsumfang und dem zugehörigen Begriffsinhalt, in einem Formalen Kontext.
• Formaler Kontext: Die Datentabelle, die untersucht werden soll, in einer speziellen Form (siehe ####):

Im engeren Sinne werden als formale Kontexte nur Kreuztabellen verstanden (Achtung: siehe dort), wobei ein Kreuz angibt, dass ein bestimmter Gegenstand ein bestimmtes Merkmal hat. Grundsätzlich können aber beliebige Datentabellen betrachtet werden. Es wird dann von einem Mehrwertigen Kontext gesprochen. Mehrwertige Kontexte werden zunächst durch begriffliche Skalierung in Kreuztabellen umgewandelt. Diese dann weiter analysiert.

• Kontext: Siehe Formaler Kontext
• Kreuztabelle: Tabelle in der an der Kreuzung von Gegenstand und Merkmal immer dann eine Markierung, z.B. ein „x“ (Kreuz) steht, wenn der Gegenstand das Merkmal hat. Wenn dort keine Markierung steht (Merkmal nicht erkannt) bedeutet das nicht zwangsläufig, dass das Merkmal nicht vorhanden ist, sondern kann auch bedeuten, dass unklar ist, ob es vorhanden ist. Es handelt sich also nicht um boolesche Werte. Man spricht von einer einwertigen Tabelle. Boolesche Werte wären zweiwertig.

Der Begriff Kreuztabbelle ist nicht zu verwechseln mit dem gleichlautenden Begriff in der Statistik (Kontingenztafel)

• Liniendiagramm: Siehe Ordnungsdiagramm
• Mehrwertiger Kontext: Eine Tabelle mit zu untersuchenden Daten, die beliebige Werte enthält.

Mehrwertige Kontexte werden zunächst durch begriffliche Skalierung in Kreuztabellen umgewandelt. Diese dann weiter analysiert.

• Ordnungsdiagramm oder Liniendiagramm: Die graphische Darstellung eines Begriffsverbandes als geordnete Menge.

Noch ausformulieren

• Das Verbandsdiagramm enthält an den Knoten Listen von Gegenständen und Listen von deren Merkmalen, naturgemäß aber nicht die Bezeichnung des Begriffs, was intuitiv die Erwartung wäre.
• FBA liefert keine Zusammenhänge, es hilft dabei Zusammenhänge sichtbar zu machen.

Umsetzung in Software

Begriffliche Skalierung

Mit Skalierung bezeichnet man das hilfsweise Abbilden von Original-Daten auf eine andere Darstellungsform, die die Weiterverarbeitung oder Darstellung erleichtert oder überhaupt erst ermöglicht. Eine solche Möglichkeit ist eine starke Arbeitserleichterung beim praktischen Einsatz, und erweitert die Einsatzmöglichkeiten. Sie ist nicht in allen Softwarepaketen zur FBA implementiert. Skalierung wird für zwei Zwecke eingesetzt:

• In seiner Grundform kann mit der Formalen Begriffsanalyse lediglich boolesche Verknüpfungen zwischen Gegenständen und ihren Merkmalen verarbeiten. Um diese Einschränkung zu überwinden und auch sogenannte Mehrwertige Kontexte also Daten mit beliebigen Inhalten verarbeiten zu können, ist es nötig über ein oder mehrere Hilfstabellen diese Daten in eine Reihe von booleschen Werten zu übersetzen.
• Umgekehrt können solche Hilfstabellen aber auch dazu eingesetzt werden, um mehrere „ähnliche“ boolesche Werte zu nur einem Wert zusammen zu führen. Da bedeutet einen Verlust an Detaillierung kann aber nützlich sein, um einen komplexen Verband zu verkleinern und so übersichtlicher und leichter verständlich zu gestalten. Oder zu erreichen, dass der Verband soweit reduziert wird, dass er sich zur Illustration in einem Schriftstück eignet.

Es ist möglich mit mehreren alternativen Skalen zu arbeiten, um so für unterschiedliche Anforderungen an Detaillierung und Übersichtlichkeit die jeweils angemessene Balance zu finden.

Der grundsätzliche Vorgang, Original-Daten mittels einer Hilfstabelle auf Hilfsvariablen abzubilden ist in beiden Fällen prinzipiell der Gleiche, weshalb die beiden Anwendungsfälle unter einer Bezeichnung abgehandelt werden.

Skalierung ist allerdings ein normatives Verfahren. Die Vergröberung kann dazu führen, dass eigentlich wesentliche Details unbeabsichtigt unsichtbar werden. Es kann aber auch, in unseriöser Absicht, dazu verwendet werden, unliebsame Details absichtlich zu verschleiern, bzw. erwünschte eher nebensächliche Details in den Vordergrund zu schieben. Um Skalierung seriös zu verwenden ist deshalb eine gewisse Erfahrung sowohl im Umgang mit diesem Instrument, als auch mit dem untersuchten Gegenstand empfehlenswert. Seriös angewendet, ist Skalierung ein mächtiges Werkzeug, um eine bessere Übersicht zu schaffen.

Skalierung verwendet man insbesondere auch beim Umgang mit Quantitäten. Z.B. lässt sich das Alter eines Menschen folgendermaßen in eine Skala überführen:

Beispiel für eine Skala

Altersspanne	Bezeichnung
0-2	Kleinkind
3-5	Kindergarten
6-12	Schule
13-19	Teenager
20-64	Berufstätig
65-79	Ruhestand
80+	Betagt

Damit lässt sich auch der Übergang von einer quantitativen Skala in eine begriffliche Skala (kategoriale Skala) erreichen. Statt einer Spalte, die das Alter als Zahlenwert enthält, werden so in diesem Fall 7 Spalten eingeführt, die jeweils ein „x“ enthalten, wenn das Alter in das jeweilige Intervall fällt.

gestufte Diagramme (geschachtelte Darstellung unterschiedlicher Aspekte)

Um die Übersichtlichkeit zu verbessern, lassen sich mit einigen Anwendungen in großen Datenmengen bestimmte Datenfelder (Tabellenspalten) auswählen und so in einer geschachtelten Hierarchie von Begriffsnetzen darstellen, in die man sich, Aspekt für Aspekt hineinklicken kann („gestufte Diagramme“). Die Darstellung jedes einzelnen Aspektes wird so übersichtlicher.

Merkmalexploration

→ Hauptartikel: Merkmalexploration

Einige Anwendungen erlauben es, quasi in einem Dialog, eine unvollständige Liste von Merkmalen zu vervollständigen. Dazu werden auf Grundlage der vorhandenen Daten, von der Anwendung Schlussfolgerungen generiert und einem Experten präsentiert. Der Experte kann diesen Schlussfolgerungen zustimmen oder sie ablehnen. Lehnt er sie ab, dann muss er ein Gegenbeispiel eingeben. Mit Hilfe dieser Gegenbeispiele wird die Datenbasis erweitert und im Endeffekt vervollständigt.

Stärken der Formalen Begriffsanalyse

Begriffliche Strukturen.

Mit Hilfe der FBA lassen sich sowohl quantitative als auch qualitative Daten verarbeiten. Bei der Arbeit mit Quantitäten, werden in beliebiger aber endlicher Granularität und mit beliebigen aber pragmatisch gewählten Grenzen Zahlenintervalle eingerichtet. Jedes Intervall kann einen Bezeichner erhalten, der es charakterisiert. Das ist jedoch nicht zwingend erforderlich.

Verlustfreiheit

Die ursprünglichen Daten werden nicht durch wenige aggregierte Daten ersetzt, wie z.B. in der Statistik, sondern bleiben in vollem Umfang erhalten. Sie werden lediglich in einer Struktur geordnet, die sich auch visuell darstellen lässt. Zwar lässt sich durch Skalierung diese strukturelle Darstellung gezielt vergröbern, um so zu einer weniger komplexen und damit übersichtlicheren Darstellung zu kommen. Letztlich kann man aber in diese Struktur immer hinein navigieren bis hinunter auf die Ebene der Ausgangsdaten.

Erweiterungen

Zur Formalen Begriffsanalyse gab es weitere Forschungen in unterschiedliche Richtungen. Exemplarisch folgen einige Forschungsansätze und Hinweise auf weiterführende Veröffentlichungen.

Triadische FBA

English	Deutsch
Triadic concept analysis replaces the binary incidence relation between objects and attributes by a ternary relation between objects, attributes, and conditions. An incidence then expresses that the object g has the attribute m under the condition c. Although triadic concepts can be defined in analogy to the formal concepts above, the theory of the trilattices formed by them is much less developed than that of concept lattices, and seems to be difficult.	Die Triadische Begriffsanalyse ersetzt die binäre Beziehung zwischen Gegenständen und Merkmalen durch eine ternäre Beziehung zwischen Gegenständen, Merkmalen und Bedingungen. Eine Inzidenz $(g,m,b)$ drückt dann aus, dass der Gegenstand $g$ das Merkmal $m$ unter der Bedingung $b$ hat. Obwohl triadische Begriffe in Analogie zu den obigen formalen Begriffen definiert werden können, ist die Theorie der von ihnen gebildeten Tri-Verbände viel weniger weit entwickelt als die der Begriffsverbände und scheint schwierig zu sein.
George Voutsadakis has studied the n-ary case.	George Voutsadakis hat den n-stelligen Fall (Polyadische FBA) untersucht.

Fuzzy Begriffe

English

Deutsch

Fuzzy concept analysis: Extensive work has been done on a fuzzy version of formal concept analysis.

Fuzzy Begriffe ergeben sich aus einer Kombination von Formaler Begriffsanalyse mit der Fuzzy-Set-Theorie. Dazu hat es zahlreiche Untersuchungen gegeben. Eine der ersten war die Dissertation von Silke Pollandt. Umfangreich entwickelt wurde die Theorie in der Gruppe um den tschechischen Mathematiker Radim Belohlávek, von der auch eine eigene Tagungsreihe Concept Lattices and Their Applications eingerichtet wurde. Deren Ergebnisse sind frei zugänglich. Einen Einstieg ins Thema bieten die Aufsätze What is a fuzzy concept lattice? und Formal Concept Analysis and Fuzzy Logic.

Temporale Begriffsanalyse

English	German
	Um auch zeitlich veränderliche Vorgänge begrifflich beschreiben zu können, hat Karl Erich Wolff eine temporale Erweiterung der Begriffsanalyse formuliert.
Temporal concept analysis (TCA) is an extension of Formal Concept Analysis (FCA) aiming at a conceptual description of temporal phenomena. It provides animations in concept lattices obtained from data about changing objects. It offers a general way of understanding change of concrete or abstract objects in continuous, discrete or hybrid space and time. TCA applies conceptual scaling to temporal data bases.	Die Temporale Begriffsanalyse (TBA) ist eine Erweiterung der Formalen Begriffsanalyse (FBA), die auf eine begriffliche Beschreibung von zeitlichen Phänomenen abzielt. Sie bietet Animationen in Linien-Diagrammen, die aus Daten über sich verändernde Objekte gewonnen werden. Sie bietet eine allgemeine Möglichkeit, die Veränderung von konkreten oder abstrakten Objekten in kontinuierlichem, diskretem oder gemischtem Raum und Zeit zu verstehen. TBA wendet begriffliche Skalierung an, Daten aus Zeitreihen an[9].
In the simplest case TCA considers objects that change in time like a particle in physics, which, at each time, is at exactly one place. That happens in those temporal data where the attributes 'temporal object' and 'time' together form a key of the data base. Then the state (of a temporal object at a time in a view) is formalized as a certain object concept of the formal context describing the chosen view. In this simple case, a typical visualization of a temporal system is a line diagram of the concept lattice of the view into which trajectories of temporal objects are embedded.	Im einfachsten Fall betrachtet TBA Objekte, die sich in der Zeit verändern, wie ein Teilchen in der Physik, das sich zu jedem Zeitpunkt an genau einem Ort befindet. Das geschieht in solchen temporalen Daten, bei denen die Attribute "temporales Objekt" und "Zeit" zusammen ein zentrales Merkmal der Datenbasis bilden. Dann wird der Zustand (eines zeitlichen Objekts zu einem Zeitpunkt in einer Ansicht) als ein bestimmtes Objektkonzept des formalen Kontexts formalisiert, der die gewählte Ansicht beschreibt. In diesem einfachen Fall ist eine typische Visualisierung eines temporalen Systems ein Liniendiagramm des Konzeptgitters der Sicht, in das die Trajektorien der temporalen Objekte eingebettet sind. [10]
TCA generalizes the above mentioned case by considering temporal data bases with an arbitrary key. That leads to the notion of distributed objects which are at any given time at possibly many places, as for example, a high pressure zone on a weather map. The notions of 'temporal objects', 'time' and 'place' are represented as formal concepts in scales. A state is formalized as a set of object concepts. That leads to a conceptual interpretation of the ideas of particles and waves in physics. Process Representation in Temporal Concept Analysis In: Mineau, G.W. (Hrsg.)	TBA verallgemeinert den oben genannten Fall durch die Betrachtung temporaler Datenbanken mit beliebigem Schlüssel. Das führt zum Begriff der verteilten Objekte, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt an möglicherweise vielen Orten befinden, wie z.B. ein Hochdruckgebiet auf einer Wetterkarte. Die Begriffe "temporale Objekte", "Zeit" und "Ort" werden als formale Konzepte in Skalen dargestellt. Ein Zustand wird als eine Menge von Objektkonzepten formalisiert. Dies führt zu einer begrifflichen Interpretation der Vorstellungen von Teilchen und Wellen in der Physik.[11]

Begriffsalgebren

English	German
Modelling negation of formal concepts is somewhat problematic because the complement $(G\setminus A,M\setminus B)$ of a formal concept (A, B) is in general not a concept. However, since the concept lattice is complete one can consider the join (A, B)Δ of all concepts (C, D) that satisfy C ⊆ G \ A; or dually the meet (A, B)𝛁 of all concepts satisfying D ⊆ M \ B. These two operations are known as weak negation and weak opposition, respectively. This can be expressed in terms of the derivation operators.	Die Modellierung der Negation von formalen Begriffen ist etwas problematisch, weil das Komplement $(G\setminus A,M\setminus B)$ eines formalen Begriffs nicht notwendigerweise ein formaler Begriff ist. Da der Begriffsverband jedoch vollständig ist, kann man das Supremum $(A,B)^{\Delta }$ aller Begriffe $(C,D)$ betrachten, welche $C\subseteq G\setminus A$ erfüllen; oder alternativ das Infimum $(A,B)^{\nabla }$ aller Begriffe, welche $D\subseteq M\setminus B$ erfüllen. Diese beiden Operationen werden als schwache Negation bzw. schwache Opposition bezeichnet. Sie können mit Hilfe der Ableitungsoperatoren ausgedrückt werden.
Weak negation can be written as (A, B)Δ = ((G \ A)′′, (G \ A)'), and weak opposition can be written as (A, B)𝛁 = ((M \ B)', (M \ B)′′). The concept lattice equipped with the two additional operations Δ and 𝛁 is known as the concept algebra of a context. Concept algebras generalize en:power sets.	Die schwache Negation kann geschrieben werden als $(A,B)^{\Delta }=((G\setminus A)^{\prime \prime },(G\setminus A)^{\prime })$ und die schwache Opposition als $(A,B)^{\nabla }=((M\setminus B)^{\prime },(M\setminus B)^{\prime \prime })$. Der mit den beiden zusätzlichen Operationen $\Delta$ und $\nabla$ ausgestattete Begriffsverband wird als Begriffsalgebra eines Kontexts bezeichnet. Begriffsalgebren verallgemeinern Potenzmengen.
Weak negation on a concept lattice L is a weak complementation, i.e. an map Δ: L → L which satisfies the axioms xΔΔ ≤ x and (x⋀y) ⋁ (x⋀yΔ) = x.	Die schwache Negation auf einem Begriffsverband $L$ ist eine schwache Komplementation, d.h. eine ordnungsumkehrende Abbildung $\Delta :L\to L$, die die Axiome $x^{\Delta \Delta }\leq x$ und $(x\wedge y)\vee (x\wedge y^{\Delta })=x$ erfüllt.
Weak composition is a dual weak complementation. A (bounded) lattice such as a concept algebra, which is equipped with a weak complementation and a dual weak complementation, is called a weakly dicomplemented lattice. Weakly dicomplemented lattices generalize distributives, i.e..	Die schwache Opposition ist eine duale schwache Komplementation. Ein (beschränkter) Verband, der mit einer schwachen Komplementierung und einer dualen schwachen Komplementierung ausgestattet ist, wird als schwach dikomplementierter Verband bezeichnet. Begriffsalgebren sind davon Beispiele. Schwach dikomplementierte Verbände verallgemeinern distributive orthokomplementierte Verbände, d. h. Boolesche Algebren.

andere Erweiterungen

• Topologische BA
• Relationale BA
• Pattern Structures

Verfügbare Software

Der Rechenaufwand, um die FBA Algorithmen anzuwenden, steigt mit steigendem Datenumfang stark an. Der Nutzen der FBA steht und fällt deshalb mit der Verfügbarkeit geeigneter Software. Bislang wurden eine ganze Reihe von Software-Paketen für diese Zwecke entwickelt. Etliche davon unter einer Open Source Lizenz. Eine Sammlung verfügbarer Software bietet die folgende Webseite:

• Uta Priss: FCA Software. Übersichtsseite zu Software für die Formale Begriffsanalyse. Abgerufen am 14. November 2015 (englisch). 

Zwei Programme und ein Datenformat werden im Folgenden grob beschrieben: ConExp und ToscanaJ

Concept Explorer (ConExp)

ConExp ist ein verbreitetes Tool, das mit geringem Einarbeitungsaufwand genutzt werden kann. ConExp wurde zunächst im Rahmen einer Masterarbeit, von Serhiy A. Yevtushenko unter Leitung von Prof. Dr. Tatyana Taran an der Nationalen Technischen Universität der Ukraine „KPI“ entwickelt. Später wurde es erweitert und weiterentwickelt. Es ist in Java geschrieben und steht unter einer Open Source Lizenz. Es ist für Analysen geeignet, die nicht zu komplex sind. Eine besondere Stärke von ConExp ist, dass es Merkmalexploration beherrscht.

Zugang/Installation

• User-Guide auf Dublin Institute of Technology
• Dokumentation auf SourceForge
• Download von SourceForge

ToscanaJ Suite

ToscanaJ ist aus der von der Firma NaviCon entwickelten kommerziellen Software Toscana hervorgegangen. ToscanaJ ist eine auf Erfahrungen mit Toscana aufbauende vollständige Neuentwicklung die in Java implementiert wurde. Sie steht unter Opensource-Lizenz. Diese Suite eignet sich auch für komplexe Aufgabenstellungen und große Datenmengen und kann insbesondere auch temporale Daten verarbeiten und darstellen.. Allerdings ist der deutlich größere Funktionsumfang der Suite auch mit einem entsprechend deutlich höheren Einarbeitungsaufwand verbunden.

Der Name ToscanaJ steht sowohl für die ganze Suite, als auch für eine ihrer Komponenten. Die Suite besteht unter anderem aus einer Entwicklungsumgebung (Elba), einem FBA-Browser (ToscanaJ) und einer Komponente, in der zusätzliche Funktionalitäten realisiert sind, die sich noch in einem experimentellen Stadium befinden (Siena).

Die Komponente Elba ermöglicht es, eigene Anwendungen für die FBA zu entwickeln, die über deren Standard-Funktionalitäten weit hinaus gehen. Die so entwickelten Anwendungen lassen sich dann mit dem FBA-Browswe ToscanaJ ausführen.

Hauptautor von ToscanaJ ist Peter Becker

Zugang/Installation

• Hauptseite auf SourceForge
• Download

Tockit

Tockit ist ein Datenformat, dass den Austausch von Daten über verschiedene Software-Anwendungen ermöglichem soll. Dieser Datenstandard wurde definiert durch eine Kooperation folgenden Organisationen:

• Distributed Systems Technology Centre, Australien
• University of Queensland, Australien
• Technische Universität Darmstadt, Deutschland

TosanaJ unterstützt diesen Datenstandard.

Siehe auch

• Assoziationsanalyse
• Biclustering
• Clusteranalyse
• Korrespondenzanalyse
• Beschreibungslogik
• Faktorenanalyse
• Grounded Theory
• Induktive logische Programmierung

Offene Fragen

Ziel der FBA

Ziel der FBA ist es dabei zu unterstützen, in bestehendem oder zu erhebenden Datenmaterial dessen innewohnenden Strukturen und Zusammenhänge aufzudecken.

Möglichkeiten und Grenzen der FBA

Die FBA ist dabei eine Theorie, die keine „vollautomatische“ Datenanalyse leistet, sondern gewissermaßen als Werkzeug, ähnlich einem Skalpel, dabei unterstützt. Es hängt von der Erfahrung und dem Geschick des Nutzers ab, ob und inwieweit dies gelingt. Zwar liefert die FBA bei sehr einfachen Beispielen mit ausschließlich einwertigen Merkmalen als Ergebnis eine eindeutige Struktur. Bei komplexeren Anwendungen liegt es aber am Nutzer zu entscheiden, wie grob oder wie fein die Granularität von Merkmalen betrachtet werden soll oder in welcher Reihenfolge Merkmale in die Betrachtung einbezogen werden sollen (geschachtelte Darstellung). Abhängig davon liefert die Theorie unterschiedliche Ergebnisse.

Dazu offene Frage

Aus Symmetriegründen müsste eine Skalierung nicht nur für Merkmale funktionieren, sondern auch für Gegenstände. Meine (vielleicht naive) Vermutung: Das Äquivalent der Granularität von Gegenständen bilden Mereonymien, also Teil-Ganzes-Beziehungen. Bei einer groben Betrachtung betrachte ich z.B. ganze KFZ, bei einer feineren Granulierung deren Komponenten (Motor, Getriebe, Kupplung, Chassis, Karosserie, Kühlung)

Gegeben seien zwei Mengen G und M ..... <-- hier beginnt die mathematische Darstellung

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