Verschränkungsmaß

Verschränkungsmaße quantifizieren in der Quantenmechanik wie viel Verschränkung in einem Quantenzustand enthalten ist. Formell ist ein Verschränkungsmaß jede nichtnegative Funktion eines Zustandes die sich unter lokalen Operationen und klassischer Kommunikation (LOCC) nicht vergrößern kann (sogenannte Monotonie) und für separable (nicht-verschränkte) Zustände null ist. Im allgemeinen Fall gemischter Zustände ist ein Verschränkungsmaß eine Funktion der Dichtematrix des Zustandes.

Klassifizierung

Verschränkung ist eine reichhaltige und komplexe Eigenschaft. Daher gibt es verschiedene Verschränkungsmaße, die teilweise verschiedene Arten von Verschränkung charakterisieren. Auch gibt es verschiedene Arten Verschränkungsmaße zu definieren. Zum einen gibt es operative Verschränkungsmaße, wie zum Beispiel die destillierbare Verschränkung oder die Verschränkungskosten. Des Weiteren gibt es abstrakt definierte Maße, wie zum Beispiel solche die auf konvexen Dach-Konstruktionen basieren (z. B. Concurrence und Formationsverschränkung) oder basierend auf dem Abstand zu separablen Zuständen, wie z. B. die Relative Verschränkungsentropie oder Verschränkungsrobustheit.

Verschränkung zwischen zwei Systemen

Die Verschränkung zwischen zwei Systemen (bipartite Verschränkung) ist der grundlegende, best-untersuchte Fall. Nur zwischen zwei Systemen ist eine maximale Verschränkung möglich (Monogamie der Verschränkung). Bisher ist eine Vielzahl unterschiedlicher Verschränkungsmaße zwischen zwei Systemen bekannt. Diese sind im Allgemeinen nicht linear geordnet, das heißt, es gibt Verschränkungsmaße VM1 und VM2 und Zustände ρ und σ, so dass

$\operatorname {VM1} (\rho )<\operatorname {VM2} (\rho )$ und $\operatorname {VM1} (\sigma )>\operatorname {VM2} (\sigma )$

Verschränkungsentropie

Für einen reinen Zustand Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |} eines Systems aus zwei Teilsystemen ist die Verschränkungsentropie $V_{E}$ (engl.: entropy of entanglement) das Standardmaß für Verschränkung. Sie ist gegeben durch die Von-Neumann-Entropie mit $\log _{2}$ dem Matrixlogarithmus zur Basis 2

$S(\rho )=-\operatorname {Tr} \left(\rho \log _{2}\,\rho \right)$,

angewandt auf das reduzierte Zustandsgemisch des einen Teilsystems nach Eliminierung des anderen:

$V_{E}(\rho _{AB})=S(\rho _{A})=S(\rho _{B})$,

wobei $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho _{AB}$ der reduzierte Zustand im ersten (bzw. $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}\rho _{AB}$ im zweiten) System ist und $\operatorname {Tr} _{x}$ die Partialspur über das Teilsystem $x=A,B$ bezeichnet. Dieses Maß stimmt (bei einem reinen Gesamtzustand) insbesondere mit den weiter unten definierten Maßen „Relative Entropie der Verschränkung“, „Verschränkungskosten“ und „Destillierbare Verschränkung“ überein.

Das Maß lässt sich über eine convex roof construction von reinen auf gemischte Zustande verallgemeinern. Dann erhält man die weiter unten definierte „Formationsverschränkung“.

Relative Entropie der Verschränkung

Die Relative Entropie der Verschränkung für reine und gemischte Zustände $\rho$ ist

$E_{R}(\rho )=\inf _{\sigma }S(\rho ||\sigma )$

mit der bedingte Von-Neumann-Entropie S.

Concurrence

Die Concurrence beträgt Null für alle separablen Zustände und Eins für einen maximal verschränkten 2-Qubit Zustand. Für reine 2-Qubit Zustände $|\psi \rangle =\alpha |{\uparrow }{\uparrow }\rangle +\beta |{\uparrow }{\downarrow }\rangle +\gamma |{\downarrow }{\uparrow }\rangle +\delta |{\downarrow }{\downarrow }\rangle$ ist die Concurrence analytisch definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}=2|\alpha\delta-\beta\gamma|}

Für allgemeinere gemischte 2-Qubit Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} existiert die Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}=\max(\sqrt{\lambda_1}-\sqrt{\lambda_2}-\sqrt{\lambda_3}-\sqrt{\lambda_4},0)} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_i} in absteigender Reihenfolge die Eigenwerte der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varrho=\rho\cdot(\sigma^y\otimes\sigma^y)\cdot\rho^*\cdot(\sigma^y\otimes\sigma^y)} sind mit der Pauli-y Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}} .

Formationsverschränkung

Die Formationsverschränkung misst, wie viel Verschränkungsentropie im Mittel nötig ist, um den Zustand durch Mischung reiner Zustände zu erzeugen. Dieses Maß ist als konvexes Dach der Verschränkungsentropie definiert

$E_{F}(\rho )=\mathrm {inf} \left\{\sum _{i}p_{i}V_{E}(|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|):\rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,p_{i}\geq 0\right\}.$

Für den wichtigen Spezialfall von zwei Qubits, lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_F} als eine einfache, monotone Funktion der Concurrence Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} ausdrücken:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_F=h\left(\frac{1+\sqrt{\mathcal{C}}}{2}\right)}

mit der binären Entropiefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x):=-x\log_2(x) -(1-x)\log_2(1-x)} .

Verschränkungskosten

Die Verschränkungskosten für einen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} bezeichnen das Verhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m/n} im Limit großer Zahlen, wie viele maximal verschränkten Qubit-Paare $m$ benötigt würden um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Exemplare des Zustandes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} herzustellen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_c(\rho) = \inf \{ E \mid \forall \epsilon > 0, \delta > 0, \exists m, n, \Lambda, |E-\frac{m}{n}| \leq \delta \text{ und } D(\Lambda(P_+^{\otimes m}), \rho^{\otimes n}) \leq \epsilon\}}

Negativität

→ Hauptartikel: Negativität

Die Negativität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{N}} ist ein einfach berechenbares Verschränkungsmaß. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{N}>0} bedeutet, dass ein Zustand verschränkt ist, wobei es für größere Systeme als zwei Qubits auch verschränkte Zustände mit ${\mathcal {N}}=0$ gibt. Für einen allgemeinen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{N}(\rho)= || \rho^{pt} || _1-1} .

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle || \cdot || _1} die Spurnorm (Summe der Beträge aller Eigenwerte) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho^{pt}} bezeichnet die partiell (das heißt im Unterraum eines betrachteten Teilsystems) transponierte Matrix. Die Negativität schließt somit direkt an das Peres–Horodecki-Verschränktheits-Kriterium an.

Logarithmische Negativität

Die Logarithmische Negativität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_N} ist analog zur Negativität definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_N(\rho) = \log_2(|| \rho^{pt} || _1) = \log_2(\mathcal{N}(\rho)+1)} .

Dies hat den Vorteil gegenüber der Negativität, dass sie für Tensorprodukte additiv ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_N(\rho\otimes\sigma)=E_N(\rho)+E_N(\sigma)} . Die Logarithmische Negativität ist eine obere Schranke für die Destillierbare Verschränkung.

Destillierbare Verschränkung

Die Destillierbare Verschränkung ist definiert als die (asymptotische) Anzahl an maximal verschränkten Qubit-Paaren, die aus dem Zustand mittels LOCC-Operationen hergestellt (destilliert) werden können.

Verschränkungsrobustheit

Die Verschränkungsrobustheit misst, wie viel Rauschen hinzugefügt werden müsste, um einen Zustand separabel zu machen. Die Verschränkungsrobustheit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(\rho) = s}

ist definiert als das kleinste Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} für das der Zustand

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi=\frac{1}{1+s}(\rho+s\sigma)}

separabel ist mit einem beliebigen separablen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} .

Squashed Entanglement

Die Squashed Entanglement (etwa „zerdrückte Verschränkung“), auch CMI-Verschränkung (für Bedingte Transinformation, engl. Conditional Mutual information), ist aus der klassischen Informationstheorie hergeleitet. Die Squashed Entanglement zwischen zwei Subsystemen A und B ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{CMI}}(\rho_{A,B}) = \frac12 \min_{\rho_{A,B,\Lambda}\in K}S(A:B|\Lambda)}

Mit K als die Menge aller Dichtematrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_{A,B,\Lambda}} so dass die Partialspur über das dritte Subsystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda} wieder dem bipartiten System entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_{A,B}=\operatorname{Tr}_\Lambda(\rho_{A,B,\Lambda})} . Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(A:B|\Lambda)} die Quanten Bedingte Transinformation, definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(A:B|\Lambda) = S(\rho_{A,\Lambda}) + S(\rho_{B,\Lambda}) - S(\rho_{\Lambda}) - S(\rho_{A,B,\Lambda})}

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(\rho)} ist die Von-Neumann-Entropie einer Dichtematrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \log_2\rho)} , je nach Indizes des gesamten Systems oder eines Teilsystems nach Bildung der Partialspur über die jeweils anderen Subsysteme.

Für reine Zustände stimmt die Squashed Entanglement mit der Formationsverschränkung überein.

Schmidt-Zahl

Im Gegensatz zu den anderen hier genannten Maßen ist die Schmidt-Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}} ein diskretes Verschränkungsmaß. Der Name leitet sich von der Schmidt-Zerlegung reiner Zustände eines bipartiten Systems (mit Hilbertraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi\in\mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B} ) ab. Für solche Zustände ist die Schmidt-Zahl definiert als der Rang der reduzierten Dichtematrix in einem der beiden Teilsysteme. Das heißt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}(|\psi\rangle\langle\psi|)=\mathrm{Rang}(\mathrm{tr}_B(|\psi\rangle\langle\psi|)\in\left\{1,2,\dots,d\right\}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} gleich der kleineren der Dimensionen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}_A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}_B} ist. Für Produktzustände gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1} . Für reine Zustände spricht man auch vom Schmidt-Rang.

Für gemischte Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} charakterisiert man jede Zerlegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=\sum_k p_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|} (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<p_k\leq1\forall k} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_k p_k=1} ) in ein Gemisch reiner Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_k} durch den maximalen Schmidt-Rang unter allen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_k} und setzt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}(\rho):=\mathrm{min}_{\rho=\sum_k p_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|} \left\{\mathrm{max}_k \left\{E_{\mathrm{Schm}}(|\psi_k\rangle\langle\psi_k|) \right\} \right\}} ,

das heißt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}(\rho)} is gleich dem kleinsten maximalen Schmidt-Rang, der in einer Zerlegung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} auftreten muss. Dass es sich bei der Schmidt-Zahl um ein Verschränkungsmaß handelt, wurde 1999 von Terhal und Horodecki gezeigt. Für separable Zustände gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}(\rho)=1} , da sie als Mischung von Produktzuständen geschrieben werden können.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\mathrm{Schm}}(\rho)} hat einige ungewöhnliche Eigenschaften. Zum Beispiel muss das Maß für zwei Kopien eines Zustands nicht größer sein als für eine allein (maximal nicht-additiv). Bei der Frage nach dem Zusammenhang von Verschränkung und den Speedup von Quantencomputern bewies Vidal, dass ein begrenzter Schmidt-Rang eine effiziente Simulation eines Quantencomputers ermöglicht (sofern die betrachteten Zustände rein bleiben) und van den Nest zeigte, dass es damit im Gegensatz zu den meisten anderen (stetigen) Verschränkungsmaßen steht, bei denen eine polynomial kleine Menge an Verschränkung für einen Quanten-Speedup genügt. Das Mass hat sich auch als Basis für eine Verallgemeinerung zur Mehrparteienverschränkung als nützlich erwiesen.

Verschränkung mehrerer Systeme

Die Quantifizierung der Verschränkung zwischen drei und mehr Teilsystemen ist grundsätzlich ein komplexes mathematisches Thema und Gegenstand aktueller Forschung. Bekannt ist, dass es verschiedene Typen von Verschränkung gibt, beispielsweise paarweise Verschränkung zwischen je zwei Teilsystemen oder Verschränkung zwischen allen Teilsystemen, die dann aber weniger stark zwischen Paaren ist.

Tangle

Der Tangle beschreibt die Verschränkung dreier Systeme A,B,C

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau(A: B: C) = \tau(A: BC) - \tau(AB) - \tau(AC)}

mit Hilfe der 2-Tangles auf der rechten Seite, die jeweils das Quadrat der Concurrence sind.

Formationsverschränkung

Für beliebige Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} ist die Formationsverschränkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_F} definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_F(\rho)=\inf_{p_k,|\phi_k\rangle}\sum_k p_k S((\rho_A)_k)}

Für bipartite Systeme Vereinfacht sich diese Definition zur oben genannten analytischen Formel.