Häufigkeitsdaten

In der Statistik bezeichnet man als Häufigkeitsdaten die Zusammenfassung der Ausprägungen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ der Werte $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ eines Merkmals $X$ mit den jeweiligen Häufigkeiten $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}$ bzw. $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}$.

Erklärung

Sei $h_{j}=h(a_{j})$ die absolute Häufigkeit der Ausprägungen $a_{j}$ und damit die Anzahl der Werte für die $x_{i}=a_{j}$ gilt und sei $f_{j}=f(a_{j})=h_{j}/n$ die relative Häufigkeit von $a_{j}$, d. h. der Anteil der Werte für die $x_{i}=a_{j}$ gilt. Die absolute Häufigkeitsverteilung $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}$ und die relative Häufigkeitsverteilung $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}$ fasst man oft in einer Häufigkeitstabelle zusammen. Die Ausprägungen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ zusammen mit den Häufigkeiten $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}$ bzw. $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}$ werden auch als Häufigkeitsdaten bezeichnet.

Anwendungsbeispiele

Arithmetisches Mittel für Häufigkeitsdaten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ und den dazugehörigen relativen Häufigkeiten $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}$ ergibt sich das arithmetische Mittel als

${\overline {x}}:=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+\ldots +a_{k}f_{k}=\sum _{j=1}^{k}{a_{j}f_{j}}$.

Empirische Varianz für Häufigkeitsdaten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ und relativen Häufigkeiten $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}$ wird die empirische Varianz wie folgt berechnet

${\tilde {s}}^{2}=\sum \limits _{j=1}^{k}\left(a_{j}-{\overline {x}}\right)^{2}f_{j}$,

mit ${\overline {x}}:=\sum _{j=1}^{k}{f_{j}a_{j}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{k}{h_{j}a_{j}}$,