Empirische Varianz

Formelzeichen
$\mu$	Mittelwert der Grundgesamtheit
$\sigma ^{2}$	Varianz der Grundgesamtheit
$n$	Anzahl der gegebenen Werte
$X_{1},\ldots ,X_{n}$	Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)
$x_{1},\ldots ,x_{n}$	Stichprobe: beobachtete Werte der $n$ Zufallsvariablen
${\overline {x}}$	Stichprobenmittel / empirischer Mittelwert von $x_{1},\ldots ,x_{n}$
$s^{2}$	Stichprobenvarianz / empirische Varianz von $x_{1},\ldots ,x_{n}$
${\overline {X}}$	Stichprobenmittel (als Funktion der Zufallsvariablen)
$S^{2}$	Stichprobenvarianz (als Funktion der Zufallsvariablen)

Die empirische Varianz, auch Stichprobenvarianz (veraltet: empirisches Streuungsquadrat) oder einfach nur kurz Varianz genannt, ist eine statistische Angabe für die Streubreite von konkreten (empirisch erhobenen) Werten einer Stichprobe.

Bei der empirischen Varianz handelt sich um einen Begriff aus der beschreibenden (deskriptiven) Statistik für die Varianz. Sie gehört zu den Streuungsmaßen und beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Werte vom empirischen Mittelwert. Sie entspricht damit dem "durchschnittlichen Abweichungsquadrat".

Die Wurzel der empirischen Varianz ist die empirische Standardabweichung. Die empirische Standardabweichung stellt das gebräuchlichste Streuungsmaß dar. Sie ist anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte.

Die empirische Varianz ist jedoch in weitergehenden Berechnungen oft praktischer als die Standardabweichung: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden. Umgekehrt lässt sich durch eine Varianzanalyse eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen.

Die Bezeichnung „Varianz“ leitet sich von lateinisch variantia = „Verschiedenheit“ bzw. variare = „(ver)ändern, verschieden sein“ ab.

Voraussetzungen

Varianz der Grundgesamtheit

Die Varianz einer endlichen Grundgesamtheit (Population) mit $N$ reellen Datenwerten ist ein Maß für die Streuung der einzelnen $x_{i}$-Werte, $i\in \{1,2,\ldots ,N\}$ um den Populationsmittelwert $\mu$ und ist definiert als

$\sigma ^{2}={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}$

Der Populationsmittelwert ist das arithmetische Mittel der Datenwerte

$\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$.

Die Varianz der Grundgesamtheit ist in praktischen Situationen häufig unbekannt, beispielsweise, weil es nicht möglich ist, jedes einzelne Subjekt in der Population zu erfassen (Vollerhebung). Um die Varianz zu ermitteln, werden daher empirisch Stichproben erhoben. Das führt zu den Begriffen empirische Varianz oder auch Stichprobenvarianz.

Empirischer Mittelwert

Gegeben sei eine Stichprobe mit $n<N$ reellen numerischen Werten $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$. Es bezeichne

${\overline {x}}:={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

den empirischen Mittelwert der Stichprobe. Dieser empirische Mittelwert ${\overline {x}}$ ist ein Schätzer für den Populationsmittelwert $\mu$.

Berechnung der empirischen Varianz

Zunächst werden die Abweichungen der beobachteten reellen Werte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ der Stichprobe von ihrem arithmetischen Mittel $(x_{1}-{\overline {x}}),\ldots ,(x_{n}-{\overline {x}})$ gebildet. Summierung und Quadrierung ergibt die sogenannte Abweichungsquadratsumme $\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$.

Die Verwendung der Abweichungsquadratsumme führt zu folgenden Eigenschaften der emprischen Varianz:

• Positive und negative Abweichungen vom Mittelwert heben sich bei der Summierung nicht gegenseitig auf.
• Die Varianz einer Stichprobe ist daher immer positiv (oder Null).
• Eine größere Varianz entspricht einer größeren Unterschiedlichkeit der Werte.
• Wenige aber starke Ausreißer haben einen großen Einfluss auf das Ergebnis.

Die empirische Varianz kann damit auf folgende Arten berechnet werden:

Am gebräuchlichsten ist die Berechnung der empirischen Varianz der Stichprobenwerte als Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl der Freiheitsgrade $(n-1)$:

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\quad$		(1)

Formel (1) wird auch korrigierte empirische Varianz oder korrigierte Stichprobenvarianz genannt. Der Vorsatz "korrigierte ..." bezieht sich auf den Faktor $1/(n-1)$, der auch als Bessel-Korrektur bezeichnet wird. Die Korrektur führt dazu, dass $s^{2}$ ein erwartungstreuer Schätzer für die Populationsvarianz $\sigma ^{2}$ ist: Das bedeutet, dass der Schätzfehler $s^{2}-\sigma ^{2}$ immer kleiner wird und gegen Null strebt, wenn das Ergebnis der Varianzberechnung über eine steigende Anzahl verschiedener Stichproben gemittelt wird.

Alternativ wird die empirische Varianz (nicht erwartungstreu) berechnet als Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl der Werte $n$:

${\tilde {s}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$		(2)

Für den Sonderfall, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit $\mu$ bekannt ist, wird die Varianz mit folgender Formel berechnet, die ebenfalls einen erwartungstreuen Schätzer darstellt:

${s^{*}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$		(3)

Weitere Erläuterung zu den Berechnungsarten

Intuitiv lässt sich die Mittelung durch $(n-1)$ in Formel (1) statt durch $n$ wie folgt erklären:

Bei Formel (1) geht es um die Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe entnommen wurde. Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des empirischen Mittels $\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0$ ist die letzte Abweichung $\left(x_{n}-{\overline {x}}\right)$ bereits durch die ersten $(n-1)$ bestimmt. Folglich variieren nur $(n-1)$ Abweichungen frei. D.h. man mittelt deshalb, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade $(n-1)$ dividiert. Besonders augenscheinlich wird das, wenn man den Fall $n=2$ betrachtet: Bei 2 Datenwerten gibt es nur 1 Unterschied zwischen den Daten. Und mit einer Stichprobe mit $n=1$ kann man gar keine Aussage über die Varianz einer Grundgesamtheit machen.

Diese Plausibilisierung wird im Rahmen der induktiven Statistik formalisiert. (→ Stichprobenvarianz (Schätzfunktion))

Die Idee von Formel (2) ist eine andere: Hier geht es nicht um eine Aussage über eine "Grundgesamtheit" mit Hilfe einer Stichprobe, sondern darum, den Datensatz möglichst genau durch eine Normalverteilung zu beschreiben: D.h. die Parameter der Normalverteilung $\mu$ und $\sigma$ werden so bestimmt, dass der quadratische Fehler der gegebenen Daten relativ zur Verteilungsfunktion der Normalverteilung minimal ist. Das ist der Fall für $\mu ={\overline {x}}$ und $\sigma ={\tilde {s}}$. Formel (2) liefert in diesem Sinne bessere Ergebnisse als Formel (1), und sie sollte angewendet werden, wenn diese Eigenschaft erforderlich ist. Formel (2) ist aber kein erwartungstreuer Schätzer: D.h. wenn das Ergebnis über viele Stichproben gemittelt wird, dann strebt das Ergebnis nicht gegen den wahren Wert für die Varianz der Grundgesamtheit. Formel (2) liefert im Mittel zu kleine Ergebnisse und wird daher seltener angewendet. Es ist bemerkenswert, dass es umfangreiche mathematische und statistische Handbücher gibt, die die Formel (2) nicht erwähnen.

Formel (2) wird in der mathematischen Statistik begründet, z. B. durch Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode, oder der Momentenmethode.

Formel (3) und (1) unterscheiden sich darin, dass bei Formel (3) die Berechnung des arithmetischen Mittels entfällt, weil der Mittelwert der Grundgesamtheit bekannt ist. Auch diese Formel ist erwartungstreu im Sinne der schließenden Statistik. Da für Formel (3) kein arithmetisches Mittel berechnet wird geht kein Freiheitsgrad bei der Berechnung verloren und es wird nur durch n geteilt.

Formel (3) kann man ebenfalls plausibilisieren, wenn man den Fall $n=2$ betrachtet: Bei 2 Datenwerten gibt es 2 Unterschiede im Vergleich zum vorbekannten Mittelwert $\mu$. Daher wird in diesem Fall durch 2 geteilt.

Im Falle einer Vollerhebung aller Daten der Population sind die Formeln (2) und (3) gleichwertig, da in diesem Fall der Populationsmittelwert bereits aus den vorliegenden Daten bekannt ist: $\mu ={\overline {x}}$.

Wird nur von „der“ empirischen Varianz gesprochen, so muss daher darauf geachtet werden, welche Konvention beziehungsweise Definition im entsprechenden Kontext gilt. Weder die Benennungen noch die entsprechende Notation ist in der Literatur einheitlich:

• Der Begriff empirische Varianz wird von einigen Autoren nur für die unkorrigierte Varianz ${\tilde {s}}^{2}$ verwendet. Und der Begriff Stichprobenvarianz wird in diesem Fall nur für die korrigierte Varianz $s^{2}$ verwendet.
• $s^{2}$ wird auch als erwartungstreue Stichprobenvarianz (und ${\tilde {s}}^{2}$ als verzerrte Stichprobenvarianz) bezeichnet, weil $s^{2}$ ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz $\sigma ^{2}$ ist.
• $s^{2}$ wird manchmal auch als theoretische Varianz oder induktive Varianz bezeichnet.
• Statt $s^{2}$ wird manchmal auch ${\widehat {\operatorname {Var} }}(x),\;s_{n-1}^{2}$ oder $s_{*}^{2}$ verwendet.
• ${\tilde {s}}^{2}$ wird manchmal als mittlere quadratische Abweichung vom empirischen Mittelwert bezeichnet
• Statt ${\tilde {s}}^{2}$ wird manchmal auch $s_{\text{emp}}^{2}$ verwendet

Empirische Varianz für Häufigkeitsdaten

In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass die $n$ Stichprobenwerte $x_{i}$ nur $k$ konkrete Ausprägungen $a_{j}$ annehmen können. Das bedeutet: es bietet sich folgendes Vorgehen an:

• Zuerst wird mit Hilfe einer größeren Stichprobe untersucht, wie häufig jede der Ausprägungen $a_{j}$ auftritt. Die Ergebnisse der Zählung sind die absolute Häufigkeiten $h_{j}$ der Ausprägungen, d. h. es die $h_{j}$ entsprechen der Anzahl des Auftretens von $x_{i}=a_{j}$. Sie können in einer Häufigkeitstabelle zusammengefasst werden. Die Summe der $h_{j}$ ist gleich, wie die Anzahl der Stichprobenwerte $n$.
• Daraus werden die relativen Häufigkeiten $f_{j}$ (Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der jeweiligen Ausprägungen) berechnet.
• Die Varianz ergibt sich schließlich aus den ermittelten Häufigkeitsdaten: den relativen Häufigkeiten der Ausprägungen und dem empirischen Mittelwert der Stichprobe.

${\tilde {s}}^{2}=\sum \limits _{j=1}^{k}\left(a_{j}-{\overline {x}}\right)^{2}f_{j}$ , mit

${\overline {x}}:=\sum _{j=1}^{k}{f_{j}a_{j}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{k}{h_{j}a_{j}}$ .

Empirische Varianz für Daten aus einer Zeitreihe

In diesem Fall sind Datenwerte $x_{k}$ als Zeitreihe gegeben. Beispielsweise wird sekündlich ein Wert $x_{k}$ gemessen. $k$ ist ein Zähler für die aufgelaufenen Werte seit dem Beginn der Rechnung.

Zu jedem Zeitpunkt $k$ der Zeitreihe soll die Varianz aus den letzten $k$ Werten von $x$ bestimmt werden.

Die Rechnung soll in Echtzeit unmittelbar nach dem Eintreffen von jedem neuen Wert $x_{k}$ erfolgen. In Echtzeitsystemen wird stark auf die erforderliche Rechenzeit in jedem Zeitschritt geachtet. Mit Formeln (1) bis (3) würde die erforderliche Rechenzeit mit der Zeit steigen, da ja auch die Summen immer mehr Werte umfassen. Das wird vermieden mit folgenden rekursiven Formeln, die auf den Schätz-Ergebnissen für ${\hat {\mu }}_{k-1}^{2}$ und ${\hat {\sigma }}_{k-1}^{2}$ zum vergangenen Zeitpunkt $k-1$ aufbauen, und die in jedem Zeitschritt ausgeführt werden:

${\hat {\mu }}_{k}={\hat {\mu }}_{k-1}+{\frac {1}{k}}(x_{k}-{\hat {\mu }}_{k-1})$

${\hat {\sigma }}_{k}^{2}={\hat {\sigma }}_{k-1}^{2}+{\frac {1}{k}}[(x_{k}-{\hat {\mu }}_{k})^{2}-{\tilde {\sigma }}_{k-1}^{2}]$

Diese Formeln benötigen Startwerte für den Zeitpunkt $k=0$ . Bei ungünstiger Wahl nähern sich die Schätzwerte langsam den wahren Werten an. Daher sind günstige Vorbelegungen:

• ${\hat {\mu }}_{0}$ : Vorbelegung mit $0$, oder dem ersten erhaltenen Messwert, oder einem vorab erwarteten Mittelwert
• ${\hat {\sigma }}_{0}$ : Vorbelegung mit $0$, oder einem vorab erwarteten Varianzwert

Eigenschaften der empirischen Varianz

Verhalten bei Transformationen

Verschiebung der Daten $x_{i}$ um einen konstanten Wert c: Varianz ändert sich nicht

Also: Wenn $y=(x_{1}+c,x_{2}+c,\dots ,x_{n}+c)$, so gilt:

$s^{2}(x)=s^{2}(y)$

${\tilde {s}}^{2}(x)={\tilde {s}}^{2}(y)$

${s^{*}}^{2}(x)={s^{*}}^{2}(y)$

Begründung: Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline y = \overline x + c } und somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_i-\overline y)^2=(x_i+c -(\overline x + c ))^2 = (x_i-\overline x)^2} , woraus die Behauptung folgt.

Skalierung der Daten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{i}} um einen Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\neq 0 } , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = a x } : Varianz skaliert um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^2} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2(y) = a^2 \cdot s^2(x) } .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s^2(y) = a^2 \cdot \tilde s^2(x) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {s^*}^2(y) = a^2 \cdot {s^*}^2(x) }

Begründung: Dies folgt wie oben durch direktes Nachrechnen.

Genauigkeit der berechneten empirischen Varianz

Wenn man viele Stichproben nimmt, dann führt jede neue Stichprobe zu einer anderen Schätzung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat \sigma^2} für die Varianz der Grundgesamtheit. D.h. die berechnete empirische Varianz (Stichprobenvarianz) hat ebenfalls eine Streuung. Diese Streuung ist ein Maß für die Qualität (Genauigkeit) der Varianzbestimmung. Für den Fall, dass die Streuung in einem gegebenen Anwendungsfall zu hoch ist, könnte man die Anzahl der Werte in der Stichprobe vergrößern oder den Mittelwert aus vielen verschiedenen Stichproben verwenden.

Die Streuung der Stichprobenvarianz kann durch die Berechnung der Grenzwerte des Konfidenzintervalles mit Hilfe der Chi-Quadrat-Verteilung beurteilt werden. Praktisch genügt jedoch häufig eine Abschätzung der Standardabweichung der Stichprobenvarianz mit folgenden Formeln analog zu Formeln (1) und (3):

Standardabweichung der Stichprobenvarianz bei unbekanntem wahren Mittelwert der Gesamtheit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{ {Var(s^2)} } = \sqrt{ \frac 2{n-1} s^4 } }

Standardabweichung der Stichprobenvarianz bei bekanntem wahren Mittelwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} der Gesamtheit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{ {Var({s^*}^2)} } = \sqrt{ \frac 2{n} {s^*}^4 } }

Beispiel 1: Stichprobe mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 10} Werten und der Varianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 = 1{,}0}  :

Dann lässt sich die Standardabweichung der Stichprobenvarianz abschätzen als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{ {Var(s^2)}} = \sqrt{ \frac 2{9} 1{,}0^2 } = \sqrt{0{,}2222} = 0{,}47 }

Die Standardabweichung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}47} ist im Vergleich zur Stichprobenvarianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 = 1{,}0} erheblich. D.h. eine Stichprobe mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 10} ist in den meisten Anwendungsfällen nicht geeignet um eine ausreichend verlässliche Aussage über die Varianz der Grundgesamtheit zu machen.

Beispiel 2: Stichprobe wird vergrößert auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 100} Werte:

Dann lässt sich die Streuung der Stichprobenvarianz wie oben ermitteln als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{ {Var(s^2)}} = \sqrt{ \frac 2{99} 1{,}0^2 } = \sqrt{0{,}0202} = 0{,}14 }

Die Streuung von 0,14 ist bei der Stichprobenvarianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 = 1{,}0} brauchbarer, als das Ergebnis im ersten Beispiel.

Im Falle einer Normalverteilung würde das bedeuten, dass der wahre Varianzwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit im Bereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 = 1{,}0 \pm 0{,}28} liegt. Im Falle der Berechnung der Grenzwerte mit der Chi-Quadrat-Verteilung ergeben sich fast die gleichen Werte.

Man sieht, dass eine akkurate Berechnung der empirischen Varianz deutlich größere Stichproben erfordert, als man intuitiv vermuten würde.

Alternative Darstellungen

Darstellung als durchschnittliches Abweichungsquadrat

→ Hauptartikel: Summe der Abweichungsquadrate

Die Varianz wird in der Varianzanalyse oft als „mittleres“ bzw. „durchschnittliches“ Abweichungsquadrat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle MQ} bezeichnet und ergibt sich dann aus die Division der Summe der Abweichungsquadrate SQ und der Anzahl Freiheitsgrade FG:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2= \frac{\sum\nolimits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}{n-1}=\frac{SQ}{FG}:=MQ} .

Bei einer mehrdimensionalen Varianzanalyse werden die mittleren Abweichungsquadrate der jeweiligen Variablen werden in einer sogenannten Varianzanalysetabelle zusammengefasst.

Darstellung mittels Verschiebungssatz

Eine weitere Darstellung erhält man aus Anwendung des Verschiebungssatzes:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - \frac{n}{n-1} \cdot \overline x ^2 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s^2 = \frac 1n \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - \overline x ^2 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {s^*}^2 = \frac 1n \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - \mu ^2}

Diese Formel ist jedoch aus numerischer Sicht nachteilig, da unter Umständen zwei sehr große Werte voneinander abgezogen werden. Das kann zur Rechenungenauigkeiten führen, wenn die Darstellungsgenauigkeit der Gleitkommazahlen im Rechner nicht ausreichend ist.

Darstellung als Doppelsumme (ohne vorausgehende Berechnung des empirisches Mittels)

Eine Darstellung, die ohne die vorausgehende Berechnung des empirischen Mittels auskommt, ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2=\frac{1}{2n(n-1)}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -x _j)^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s^2=\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -x _j)^2}

Herleitung: Wenn man das arithmetische Mittel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{x}} der Beobachtungswerte in den Summanden der Doppelsumme

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}$

addiert und abzieht (also Null einfügt), dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -\overline{x}+\overline{x}-x _j)^2&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -\overline{x})^2 +2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -\overline{x})(\overline{x}-x _j)+ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n(\overline{x}-x _j)^2\\ &=\sum_{j=1}^n \underbrace{\sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x})^2}_{=n \tilde{s}^2} + 2 \underbrace{\left(\sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x})\right)}_{=0} \underbrace{\left(\sum_{j=1}^n (\overline{x}-x_j)\right)}_{=0}+\sum_{i=1}^n \underbrace{\sum_{j=1}^n(\overline{x}-x _j)^2}_{=n \tilde{s}^2}\\ &=2n^2 \cdot\tilde s^2\end{align}} .

Dies ist äquivalent zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s^2=\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -x _j)^2} .

Abgeleitete Begriffe

Empirische Standardabweichung

Als empirische Standardabweichung auch Stichprobenstreuung oder Stichprobenstandardabweichung genannt, wird die Wurzel aus der empirischen Varianz gemäß Formel (1)-(3) bezeichnet:

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2} }

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {s^{*}}^{2}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}}

Die empirische Standardabweichung ist ebenfalls ein Maß dafür, wie weit die Stichprobe im Schnitt um den empirischen Mittelwert streut.

Im Gegensatz zur empirischen Varianz besitzt die empirische Standardabweichung dieselben Einheiten wie der empirische Mittelwert oder die Stichprobe selbst. Wie auch bei der empirischen Varianz ist die Benennung und Bezeichnung bei der empirischen Standardabweichung nicht einheitlich. Die empirische Standardabweichung sollte von der Standardabweichung im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie unterschieden werden. Diese ist eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder der Verteilung einer Zufallsvariable, wohingegen die empirische Standardabweichung Kennzahl einer Stichprobe ist.

Empirischer Variationskoeffizient

Der empirische Variationskoeffizient ist ein dimensionsloses Streuungsmaß (nicht einheitenbehaftet) und drückt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} in Prozent des empirischen Mittelwerts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline x} aus.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = \frac{s}{\bar{x}} \cdot 100 \, \%}

Annualisierte Varianz

In der Finanzmarkttheorie werden oft Varianzen bzw. Volatilitäten von Renditen berechnet. Diese Varianzen müssen, wenn sie auf täglichen Daten beruhen annualisiert werden, d. h. auf ein Jahr hochgerechnet werden. Dies geschieht mittels eines Annualisierungfaktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=250} (pro Jahr gibt es etwa Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 250} Handelstage). Die Volatilität lässt sich somit schätzen als Wurzel aus der annualisierten Varianz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat\sigma^2 = 250 \cdot s^2 = \frac{250}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2} .

Beispiel

Gegeben sei die Stichprobe

$x_{1}=10;\quad x_{2}=9;\quad x_{3}=13;\quad x_{4}=15;\quad x_{5}=16$,

es ist also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=5 } . Für den empirischen Mittelwert ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline x = \frac15 (10+9+13+15+16) = \frac{63}{5}= 12 {,}6 } .

Bei stückweiser Berechnung ergibt sich dann die Abweichungsquadratsumme

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \sum \limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline x\right)^2 &= (10-12 {,}6)^2+(9-12 {,}6)^2+(13-12 {,}6)^2+(15-12 {,}6)^2+(16-12 {,}6)^2 \\ \; &=(-2 {,}6)^2+(-3 {,}6)^2+0 {,}4^2+2 {,}4^2+3 {,}4^2 = 37{,}2 \end{align} } .

Mit Formel (1) erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2 = \frac {1}{5-1} \sum_{i=1}^5 (x_i- \overline x)^2 = \frac{ 37{,}2}{4} = 9 {,}3 }

wohingegen Formel (2)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s^2= \frac {1}{5} \sum_{i=1}^5 (x_i- \overline x)^2 = \frac{ 37{,}2}{5} = 7 {,}44}

liefert.

Jetzt nehmen wir an, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe entnommen wurde, vorab bekannt sei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu = 12 }

Dann findet Formel (3) Anwendung:

${\begin{aligned}\sum \limits _{i=1}^{5}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}&=(10-12)^{2}+(9-12)^{2}+(13-12)^{2}+(15-12)^{2}+(16-12)^{2}\\\;&=(-2)^{2}+(-3)^{2}+1^{2}+3^{2}+4^{2}=39\end{aligned}}$.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {s^*}^2 = \frac {1}{5} \sum_{i=1}^5 (x_i- \overline x)^2 = \frac{ 39 }{5} = 7 {,}8}

Die entsprechenden empirischen Standardabweichungen ergeben sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s= \sqrt{ 9{,}3} \approx 3 {,} 05}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s = \sqrt{ 7{,}44} \approx 2 {,} 73}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {s^*} = \sqrt{ 7{,}8} \approx 2 {,} 79}

Herkunft der verschiedenen Definitionen

Die empirische Varianz, ist ein Streuungsmaß um den Mittelwert der Datenwerte. Die gegebenen Werte sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= (x_1, x_2, \dots, x_n) } .

Bei der Verwendung der Varianz als Streuungsmaß wird die Quadratsumme als Ausgangspunkt verwendet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SQ(x)= \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2 }

Um das Streuungsmaß unabhängig von der Anzahl der Messwerte in der Stichprobe zu machen, wird als einfachste Lösung noch durch die Anzahl der Werte dividiert. Ergebnis dieses pragmatisch hergeleiteten Streuungsmaßes ist die mittlere quadratische Abweichung vom empirischen Mittelwert oder die oben definierte Varianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s} .

Die Definition von $s^{2}$ hat ihre Wurzeln in der Schätztheorie. (→ Stichprobenvarianz (Schätzfunktion))

Dort wird die Varianz der Grundgesamtheit ${\hat {\sigma }}^{2}$ geschätzt durch:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}

als erwartungstreue Schätzfunktion für die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s^2} ergibt sich durch Anwendung der Schätzfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^2} auf Realisierungen (konkrete Werte) der Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i(\omega)=x_i } .

Somit kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s} als ein praktisch motiviertes Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik angesehen werden, wohingegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} eine Schätzung für eine unbekannte Varianz in der induktiven Statistik ist. Diese unterschiedlichen Ursprünge rechtfertigen die von manchen Autoren verwendete Sprechweise für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s } als empirische Varianz und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s } als induktive Varianz oder theoretische Varianz.

Zu bemerken ist, dass sich auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde s} als Schätzwert einer Schätzfunktion interpretieren lässt. Diesen erhält man bei Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode, oder der Momentenmethode als Schätzfunktion für die Varianz, die zwar nicht erwartungstreu ist, und daher nicht alle Qualitätskriterien für Punktschätzungen erfüllt, aber dafür die gegebenen Variablen optimal in eine Normalverteilung einpasst. Der Parameter der Normalverteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} wird bestimmt durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2 = \widetilde S =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2 } .

Der Unterschied zwischen beiden Formeln lässt sich in der mathematischen Statistik dadurch erklären, dass das Quadrat einer (symmetrischen) normalverteilten Zufallsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^2} nicht ebenfalls normalverteilt ist, sondern eine (unsymmetrische) Chi-Quadrat-Verteilung aufweist.

Literatur

• Behrends 2013 – Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0. 
• Beyer 1988 – Otfried Beyer, Horst Hackel, Volkmar Pieper, Jürgen Tiedge: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. B. G. Teubner, Leipzig 1988, ISBN 3-322-00469-4. 
• Bronstein 2020 – I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 11. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1. 
• Cleff 2015 – Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5. 
• Duden 2020 – Harald Scheid: Duden: Rechnen und Mathematik. 6. Auflage. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim 2020, ISBN 978-3-411-05346-9. 
• Fahrmeir 2016 – Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8. Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3. 
• Hartung 2005 – Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 14. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München / Wien 2005, ISBN 3-486-57890-1. 
• Henze 2013 – Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6. 
• Kabluchko 2017 – Zakhar Kabluchko: Mathematische Statistik - Skript zur Vorlesung. Münster 2017 (uni-muenster.de [PDF; abgerufen am 1. Februar 2022]). 
• Kosfeld 2016 – Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0. 
• Toutenburg 2008 – Helge Toutenburg, Christian Heumann: Deskriptive Statistik. 8. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77787-8. 
• Young 2011 – Peter C. Young: Recursive Estimation and Time-Series-Analysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21980-1.