Spatprodukt

Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor. Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ihr Spatprodukt Null.

In kartesischen Koordinaten lässt sich das Spatprodukt auch mit Hilfe der aus den drei Vektoren gebildeten Determinante berechnen.

Definition

Das Spatprodukt $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ dreier Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}$ des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums $\mathbb {R} ^{3}$ kann wie folgt definiert werden:

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$.

Notation

Oft wird für das Spatprodukt keine eigene Notation eingeführt, sondern man schreibt einfach $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$. Andere gebräuchliche Notationen sind: $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$, $\langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$ und $|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}|$.

Eigenschaften

• Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Der Wert ändert sich jedoch nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht:

  $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$.

• Man kann das Spatprodukt mit Hilfe der Determinante berechnen. Für

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

gilt

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}$.

Der Beweis kann zum Beispiel durch einfaches Ausrechnen erbracht werden, siehe unten.

• Da im Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauscht werden können und das Skalarprodukt kommutativ ist, gilt

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$.

Man kann also bei entsprechend angepasster Klammerung die beiden Rechenzeichen „vertauschen“.

• Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der Vertauschung zweier Faktoren ein Vorzeichenwechsel auf:

  $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=-({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}})$.

• Weiter gilt wegen ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$:

  $({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}})=0$.

• Die Multiplikation mit einem Skalar $\alpha \in \mathbb {R}$ ist assoziativ:

  $(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\alpha \cdot ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$.

• Es gilt ein Distributivgesetz:

  $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {d}})=({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})+({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}})$.

Geometrische Interpretation

Betrag des Volumens und orientiertes Volumen

Das Volumen $V$ des von den drei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ aufgespannten Spats (Parallelepipeds) ist gleich dem Betrag des Spatprodukts:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = |(\vec a, \vec b, \vec c)| = |(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c|} .

Verzichtet man darauf, den Betrag zu bilden, so erhält man das orientierte Volumen. Der von den 3 Vektoren aufgespannte (unregelmäßige) Tetraeder hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{6}} des Volumens des Spats.

Herleitung

Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundfläche und seiner Höhe.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = A_g \cdot h}

Das Kreuzprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}} ist der Normalenvektor auf der durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} aufgespannten Grundfläche, der mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} ein rechtshändiges Koordinatensystem bildet und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} aufgespannten Parallelogramms ist, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_g= | \vec{a}\times\vec{b} |} .

Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c} auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = | \vec{c} | \cos \alpha = \hat e_{\vec{a} \times \vec{b}} \cdot \vec{c} } .

Es folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = A_g \cdot h = | \vec{a}\times\vec{b} | ( \hat e_{\vec{a} \times \vec{b}} \cdot \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} } .

Das Volumen ist null für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} gleich 90°, wenn also die Vektoren in einer Ebene liegen. Sie heißen dann komplanar und linear abhängig.

Das orientierte Volumen ist negativ, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} größer ist als 90°. Dann zeigen Vektorprodukt und projizierte Höhe in entgegengesetzte Richtungen, weil die Vektoren ein Linkssystem bilden.

Herleitung der algebraischen Eigenschaften

Das Spatprodukt kann auch mit dem Levi-Civita-Symbol hergeleitet werden. Dafür wird zuerst das Skalarprodukt durch eine Summe dargestellt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec c = \sum_{i=1}^3 (\vec{a} \times \vec{b})_i \cdot c_i. }

Das Kreuzprodukt wird nun mit dem Levi-Civita-Symbol durch eine Summenschreibweise dargestellt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^3 (\vec{a} \times \vec{b})_i \cdot c_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k c_i. }

Der total antisymmetrische Epsilontensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{ijk}} ist gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{kij}} bzw. gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{jki}} . Damit lässt sich das Spatprodukt wie folgt ausdrücken:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k c_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{kij} a_j b_k c_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{jki} a_j b_k c_i. }

Die Summenzeichen können vertauscht werden. Außerdem kann man nun geschickt Klammern setzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^3 \left(\sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k \right) c_i = \sum_{k=1}^3 \left(\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{kij} c_i a_j \right) b_k = \sum_{j=1}^3 \left(\sum_{k=1}^3 \sum_{i=1}^3 \varepsilon_{jki} b_k c_i \right) a_j. }

Schreibt man die Kreuzprodukte nun wieder ohne Levi-Civita-Symbol, so ergibt sich die gewünschte Identität:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}.}

Doppeltes Spatprodukt

Das doppelte Spatprodukt zweier Vektortripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a, \vec b, \vec c} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u, \vec v, \vec w} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\, [(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c][(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w] = \; & \begin{vmatrix}\vec a&\vec b&\vec c\end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec u&\vec v&\vec w\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}(\vec a&\vec b&\vec c)^\top\end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec u&\vec v&\vec w\end{vmatrix}\\ = \; &\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}\vec a&\vec b&\vec c\end{pmatrix}^\top \begin{pmatrix}\vec u&\vec v&\vec w\end{pmatrix}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec a\cdot\vec u&\vec a\cdot\vec v&\vec a\cdot\vec w\\ \vec b\cdot\vec u&\vec b\cdot\vec v&\vec b\cdot\vec w\\ \vec c\cdot\vec u&\vec c\cdot\vec v&\vec c\cdot\vec w\end{vmatrix} \end{align}}

weil die Determinante erstens unempfindlich gegen Transponierung (.)^⊤ und zweitens nach dem Determinantenproduktsatz beim Matrixprodukt gleich dem Produkt der Determinanten der beteiligten Matrizen ist. Bei zwei identischen Vektorsätzen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c]^2 =\begin{vmatrix} \vec a\cdot\vec a&\vec a\cdot\vec b&\vec a\cdot\vec c\\ \vec b\cdot\vec a&\vec b\cdot\vec b&\vec b\cdot\vec c\\ \vec c\cdot\vec a&\vec c\cdot\vec b&\vec c\cdot\vec c\end{vmatrix}\ge0}

und somit die sogenannte Gram’sche Determinante positiv definit. Wie auch das Spatprodukt allein ist diese Determinante ein Kriterium für die lineare Unabhängigkeit der Vektoren des Tripels (ungleich null bzw. größer null bei linearer Unabhängigkeit). Die Determinante gibt das Quadrat des Volumens des Spats an. Liegen zwei Spate vor, die durch Verformung auseinander hervorgehen, kann mit der Gram’schen Determinante die Volumenänderung bei der Verformung angegeben werden. Der Vorteil des Ausdrucks mit der Gram’schen Determinante ist, dass er sich auf höher dimensionale euklidische Vektorräume verallgemeinern lässt.

Volumenelement der Integralrechnung

Das Volumenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}V} des Volumenintegrals hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab. In kartesischen Koordinaten ist es

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}V = \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z} .

In anderen Koordinatensystemen mit Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {x', y', z'}} muss es mit Hilfe des Spatproduktes der (lokalen) Basisvektoren berechnet werden. Die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \vec b_1, \vec b_2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \vec b_3} an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus der Koordinatentransformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x( x', y', z') \\ y( x', y', z') \\ z( x', y', z') \end{pmatrix}}

durch partielle Ableitungen nach den Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {x', y', z'}} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b_1 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial x'} , \quad \vec b_2 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial y'} , \quad \vec b_3 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial z'}} .

Die Komponenten eines Basisvektors bilden jeweils eine Spalte der Jacobi-Matrix. Somit ist das Spatprodukt dieser drei Basisvektoren durch den Betrag der Funktionaldeterminante gegeben.

Nach dem Transformationssatz gilt dann für das Volumenelement:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}V' = \left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(x',y',z')} \right| \,\mathrm{d}x' \, \mathrm{d}y' \, \mathrm{d}z'} .

Beispiel (für Kugelkoordinaten)

Die Koordinatentransformation für die Kugelkoordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \sin \theta \cos \varphi \\ r \sin \theta \sin \varphi \\ r \cos \theta \end{pmatrix}}

führt zu den lokalen Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b_1 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} = \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{pmatrix}, \quad \vec b_2 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} = \begin{pmatrix} r \cos \theta \cos \varphi \\ r \cos \theta \sin \varphi \\ - r \sin \theta \end{pmatrix}, \quad \vec b_3 = \frac{\partial\vec{r}}{\partial \varphi} = \begin{pmatrix} - r \sin \theta \sin \varphi \\ r \sin \theta \cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix}}

an den entsprechenden Punkten. Die Funktionaldeterminante lautet also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}= \det\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{pmatrix}=r^2\sin\theta.}

Folglich ergibt sich für das Volumenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}V} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi=r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi. }

Wortherkunft

Die Bezeichnung Spatprodukt geht auf die Bezeichnung „Spat“ für ein Parallelflach (Parallelepiped, Parallelotop) zurück. In der Geologie deutet die Nachsilbe -spat auf eine gute Spaltbarkeit des betreffenden Minerals hin. Beispiele: Feldspat, Kalkspat. Diese Spate weisen klare Bruchlinien auf. Insbesondere die Kristalle des Kalkspates ähneln dem geometrischen Ideal eines Parallelflachs sehr stark. Über die Volumenberechnung eines solchen Parallelflachs bzw. Spates ergibt sich damit die Bezeichnung Spatprodukt.

Weblinks

• Spatprodukt-Rechner: Berechnet das Spatprodukt von drei Vektoren.

Siehe auch

• Parallelotop

Literatur

• Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2.
• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6. 
• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.