Transformationssatz

Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Menge und $\Phi \colon \Omega \to \Phi (\Omega )\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion $f$ auf $\Phi (\Omega )$ genau dann integrierbar, wenn die Funktion $x\mapsto f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|$ auf $\Omega$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

$\int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x\;.$

Dabei ist $D\Phi (x)$ die Jacobi-Matrix und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \det(D\Phi (x))} die Funktionaldeterminante von $\Phi$.

Spezialfälle

• Wählt man für $f$ die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw. $d$-dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge $\Phi (\Omega )$ dar:

  $\operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\int _{\Omega }\left|\det(D\Phi (x))\right|\,\mathrm {d} x\;.$

• Ist außerdem die Abbildung $\Phi$ linear oder affin, $\Phi (x)=Ax+b$, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d \times d} -Matrix ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b \in \R^d} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D \Phi(x) = A} . Somit gilt

  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{vol}(\Phi(\Omega)) = \left|\det (A)\right| \cdot \operatorname{vol}(\Omega)\;.}

Beispiel

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{2}}$

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2} \, \mathrm dx \right)^2 = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\pi}

zu beweisen. Da die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2} = \mathrm e^{-r^2}} rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega=\mathbb R_{>0}\times(0,2\pi)} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi\colon\Omega\to\mathbb R^2,\quad(r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi,r\sin\varphi).}

Dann ist die Funktionaldeterminante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det D\Phi(r,\varphi)=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r.}

Das Komplement von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi(\Omega)\subset \mathbb R^2} ist eine Nullmenge, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2}} ergibt sich also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {} = \int_{\Phi(\Omega)}\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {} = \int_\Omega\mathrm e^{-(r\cos\varphi)^2-(r\sin\varphi)^2}\cdot \det D\Phi(r,\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {} = \int_\Omega\mathrm e^{-r^2}\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {} = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty r\mathrm e^{-r^2}\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {} = \int_0^{2\pi}\frac12\cdot\mathrm d\varphi = \pi.\,}

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=r^2} begründet werden.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004, S. 211