Konstante Funktion

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Eine konstante reelle Funktion einer Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}

In der Mathematik ist eine konstante Funktion (von lateinisch constans „feststehend“) eine Funktion, die für alle Argumente stets denselben Funktionswert annimmt.

Definition und Charakterisierung

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A \to B} eine Funktion zwischen zwei Mengen. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} konstant, wenn für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x,y \in A} gilt: $f(x)=f(y)$.

Äquivalent zu dieser Definition ist die Aussage, dass die Bildmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} aus höchstens einem Element besteht.

Insbesondere in der Kategorientheorie werden konstante Funktionen mittels Hintereinanderausführung charakterisiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A \to B} ist genau dann konstant, wenn für alle Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g,h\colon C \to A} gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \circ g = f \circ h} .

Auf diese Weise werden konstante Morphismen sauber definiert. Gebräuchlich ist weiterhin: Ist für jede Funktion $g\colon C\to A$ die Verknüpfung $f\circ g$ konstant, dann ist auch $f$ konstant.

Eigenschaften, bekannte Funktionen

Im Fall einer konstanten Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen ist ihr Graph eine zur x-Achse parallele („waagerechte“) Gerade.

• Ist der Wert der Funktion die Zahl Null, so handelt es sich um den Spezialfall der Nullfunktion (oder Nullabbildung). Sowohl in der reellen als auch der komplexen Differentialrechnung ist die Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion. Definiert man eine Vektorraum-Struktur auf einer Menge von Funktionen, so entspricht die Nullfunktion stets dem Nullvektor.

• Ist der Funktionswert Eins, so spricht man häufig von der Einsfunktion. Sie ist die Ableitung der Identität.

Der Begriff „Einsfunktion“ wird jedoch noch in einem anderen Kontext verwendet. Mittels Hintereinanderausführung kann eine Gruppenstruktur auf einer Menge von Funktionen definiert werden. Das neutrale Element dieser Gruppe wird auch oft mit „Einsfunktion“ bezeichnet, ist aber keine konstante Funktion, sondern die identische Abbildung.

• Polynome nullten Grades sind konstante Funktionen. Zwischen Vektorräumen ist eine konstante Funktion genau dann eine lineare Abbildung, wenn es sich um die Nullfunktion handelt.

Die Konstanz einer Funktion ist nicht immer augenfällig: Betrachtet man eine beliebig vorgegebene Funktion, so kann sie konstant sein, obwohl ihr Funktionsterm scheinbar vom Argument abhängt. Ein Beispiel ist die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \Z/2\Z \to \Z/2\Z} , also auf dem Restklassenring modulo 2, mittels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = x^2 - x} . Diese Funktion ist konstant $0$ (da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0^2-0=0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1^2-1=0} ).

Weitere Zusammenhänge, Verallgemeinerungen

• Der Satz von Liouville besagt, dass eine beschränkte, ganze Funktion konstant ist. Daraus folgt auch, dass eine elliptische Funktion ohne Polstelle konstant ist.
• Eine Verallgemeinerung von konstanten Funktionen sind lokal konstante Funktionen, bei denen für jedes Argument Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} eine Umgebung um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} existiert, auf der sie konstant sind. Damit lassen sich beispielsweise folgende Sätze formulieren:
  • Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} eine Menge, die mehr als ein Element enthält. Ein topologischer Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist zusammenhängend, wenn jede lokal konstante Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon X \to Y} konstant ist.
  • Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon A \to B} eine stetige Funktion zwischen zwei topologischen Räumen. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} zusammenhängend und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} diskret, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} konstant.

Literatur

Zum mengentheoretischen Funktionsbegriff:

• Paul Richard Halmos: Naive Mengenlehre. In: H. Kirsch, H. G. Steiner (Hrsg.): Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8, S. 43–47 (amerikanisches Englisch: Naive Set Theory. Übersetzt von Manfred Armbust und Fritz Ostermann). 

Konstante Funktionen in der reellen und komplexen Analysis:

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 8. Auflage. Teil 1. B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-12231-6. 

In der Funktionentheorie, zum Satz von Liouville:

• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Studienausgabe, 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1972, ISBN 3-540-07768-5.