Funktionsgraph

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Graph der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^3-9x}
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Graph der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cos\left(y^2\right)}

Als Funktionsgraph oder kurz Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf) einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x, f(x))} aus den Elementen der Definitionsmenge und den zugehörigen Funktionswerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} .

Mitunter können diese Paare als Punkte in der Zeichenebene oder im Anschauungsraum interpretiert werden, sie werden auch Kurve, Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt.

Definition

Der Graph einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon D \to Z} mit Definitionsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} und Zielmenge ist die Menge[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_f = \{ (x, f(x)) \in D \times Z \mid x \in D \}} .

Der Graph ist somit eine spezielle Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge. Er besteht aus allen Paaren, bei denen die erste Komponente ein Element der Definitionsmenge und die zweite Komponente das diesem Element durch die Funktion zugeordnete Element der Zielmenge ist.

Spezialfälle und Beispiele

Der Graph einer Funktion mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D \subseteq \R} ist eine Teilmenge von und kann somit als Punktmenge bzw. geometrische Figur in der Ebene aufgefasst werden. Beispiele sind:

  • Der Graph einer linearen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R \to \R, x \mapsto ax+b} ist eine Gerade.
  • Der Graph einer quadratischen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R \to \R, x \mapsto ax^2+bx+c} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \neq 0} ist eine Parabel.
  • Der Graph der Kehrwertfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R \setminus \{0\} \to \R, x \mapsto \tfrac{1}{x}} ist eine Hyperbel.

Die Graphen von Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R^2 \to \R} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R \to \R^2} sind Teilmengen von und können als räumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden. Beispiele sind:

  • Der Graph einer stetigen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R^2 \to \R} ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) = x^2 + y^2} ein elliptisches Paraboloid.
  • Der Graph einer stetigen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \R \to \R^2} ist eine Kurve im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = (\sin t , \cos t)} eine Schraubenlinie.

Verwendung in der Mathematik

In mengentheoretischen Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt, der Graph wäre nichts anderes als die Funktion selbst, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_f = \{ (x, f(x)) \in D \times Z \mid x \in D \}=f} . Auf diese Kuriosität wies bereits 1960 Jean Dieudonné hin:[2]

It is customary, in the language, to talk of a mapping and a functional graph as if they were two kinds of objects in one-to-one correspondence, and to speak therefore of “the graph of a mapping”, but this is a mere psychological distinction (corresponding to whether one looks on F either “geometrically” or “analytically”).

Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgeführt (etwa würde dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fällen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht über den Graphen der Funktion. Neben der Möglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, seien hier als weitere Beispiele genannt:

Graphen im Sinne der graphischen Darstellung

Die graphische Darstellung ist kein mathematisches Objekt. Sie dient im Rahmen der Mathematik der Veranschauung und lässt Mutmaßungen über die Eigenschaften einer Funktion zu.

Graphen unstetiger Funktionen, Definitionslücken

In der Darstellung der Graphen von unstetigen Funktionen oder von Funktionen mit Definitionslücken wird häufig durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bullet} angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehört, und durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \circ} , dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der Vorzeichenfunktion (auch „Signumfunktion“).

Beispiele

Drei Beispiele für Funktionsgraphen:

Funktion Graph Anmerkung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{falls }x<0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0 \\ 1 & \mbox{falls }x>0 \end{cases}} Datei:Mplwp sgn.svg Der Funktionswert der Vorzeichenfunktion an der Stelle 0 ist 0.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls }x=1 \\ 8 & \mbox{falls }x=2 \\ 15 & \mbox{falls }x=3 \end{cases}} Datei:Mplwp 0 8 15.svg Da der Definitionsbereich die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{1,2,3\}} ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1,0)} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2,8)} und .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}} Datei:Mplwp 1overx.svg Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} ist die Kehrwertfunktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Koordinate 0.

Einzelnachweise

  1. ↑ Schichl & Steinbauer 2012, S. 160.
  2. ↑ Dieudonné 1960, S. 5; Hischer 2016, S. 146, S. 237.
  3. ↑ J. J. Buckley, Graphs of Measurable Functions (PDF; 304 kB), Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 44, Number 1, Mai 1974.

Literatur

  • Dieudonné, Jean Alexandre: Foundations of Modern Mathematics. New York/London: Academic Press 1960.
  • Hischer, Horst: Mathematik – Medien – Bildung. Wiesbaden: Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-658-14166-0.
  • Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Berlin/Heidelberg: Springer 2012, 2. Auflage, ISBN 978-3-642-28645-2.

Weblinks

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