Reversionspendel

Pendelapparat mit Sekunden-Reversionspendel von Adolf Repsold aus dem Jahre 1869, GeoForschungsZentrum, Potsdam

Ein Reversionspendel ist in der Gravimetrie ein Pendel zur Messung der Schwerebeschleunigung. Es ist durch die Verschiebbarkeit der Aufhängungspunkte (auch Schneiden genannt) oder alternativ durch die Veränderbarkeit der Massenverteilung (verschiebbare Massen) charakterisiert.

Je nach Bauart müssen die Aufhängungspunkte oder die Massen so verschoben werden, dass die Schwingung um den ersten Aufhängungspunkt dieselbe Periodendauer wie die Schwingung um den zweiten Aufhängungspunkt hat. Der Abstand zwischen den Aufhängungspunkten entspricht dann der reduzierten Pendellänge. Mit der Periodendauer kann daraus die Schwerebeschleunigung bestimmt werden. Damit wird das schwierige Problem umgangen, das Trägheitsmoment des Pendels genau bestimmen zu müssen.

Mit diesem Verfahren konnte bereits im 19. Jahrhundert die Erdbeschleunigung $g$ auf etwa ein Millionstel ihres Wertes bestimmt werden (siehe Pendelapparat von Sterneck). Die um die Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten Gravimeter nach dem Prinzip der Federwaage erreichten diese Genauigkeit nur durch hohen Aufwand an Konstruktion, Rechenmethoden und Reduktion, sind aber mittlerweile um den Faktor 10 bis 100 genauer.

Nach Angabe mehrerer Quellen wurde das Reversionspendel von Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger erfunden. Außerhalb des deutschen Sprachraums hat sich für das Reversionspendel weitgehend die Bezeichnung Katers Pendel durchgesetzt, die sich auf die Konstruktion des britischen Physikers Henry Kater aus dem Jahre 1817 bezieht.

Messung der Schwerebeschleunigung

Zuerst wird die Periodendauer des Pendels bestimmt, wenn es um die erste Schneide schwingt, dann die Periodendauer bei Schwingungen um die zweite Schneide. Sind die Periodendauern nicht gleich, müssen die Schneiden oder Massen verschoben werden. Dieser Prozess wird so lange wiederholt, bis beide Periodendauern $T$ gleich lang sind. Anschließend muss der Abstand $L$ zwischen den Schneiden bestimmt werden, um die Schwerebeschleunigung $g$ mit folgender Formel berechnen zu können

$g=4\pi ^{2}{\frac {L}{T^{2}}}$

Die Auslenkung des Pendels sollte dabei möglichst klein gehalten werden, weil die obige Formel mit der Kleinwinkelnäherung hergeleitet wird.

Herleitung des Funktionsprinzips

Datei:Reversionspendel.png

Schematischer Aufbau eines Reversionspendels mit verschiebbaren Massen

Für die Periodendauer $T$ eines Pendels bei kleiner Auslenkung mit der reduzierten Pendellänge $l_{r}$ gilt

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{r}}{g}}}$

Wenn das Pendel so eingestellt ist, dass die Periodendauer $T_{1}$ um die erste Schneide $S_{1}$ gleich der Periodendauer $T_{2}$ um die zweite Schneide $S_{2}$ ist, sind auch die reduzierten Pendellängen $l_{r,a}$ und $l_{r,b}$ gleich.

Zusammen mit der Formel für die reduzierte Pendellänge $l_{r}={\frac {I}{Mr}}$ gilt damit

${\frac {I_{a}}{Mr_{a}}}={\frac {I_{b}}{Mr_{b}}}\quad \quad (1)$

Dabei ist $I$ das Trägheitsmoment, $M$ die Gesamtmasse des Pendels und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} der Abstand der Rotationsachse vom Schwerpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} .

Mit dem Trägheitsmoment im Schwerpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_S} gilt nach dem Steinerschen Satz für die beiden Trägheitsmomente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{a,b}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{a,b} = M r_{a,b}^2 + I_S}

Ersetzt man die Trägheitsmomente in der obigen Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1)} und formt um, erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (I_S + M r_a^2) \, r_b = (I_S + M r_b^2) \, r_a }

und nach weiterem Umformen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r_b - r_a)(I_S - M r_a r_b ) = 0 \quad \quad (2)}

Eine Lösung dieser Gleichung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_S = M r_a r_b} . Umgeformt ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_a = \frac{I_S}{M r_b }}

Die Abstände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_2} der beiden Schneiden vom Schwerpunkt sind zusammen der Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} zwischen den beiden Schneiden: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = r_a + r_b} . Setzt man dies ein, erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = \frac{I_S + M r_a^2}{M r_a} = \frac{I_a}{M r_a} = l_r}

Das entspricht genau der Formel für die reduzierte Pendellänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_r} , folglich ist der Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} die reduzierte Pendellänge.

Für die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2)} ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_a = r_b = L/2} eine Lösung. Beide Schneiden sind dabei gleich weit vom Schwerpunkt entfernt und besitzen deshalb auch das gleiche Trägheitsmoment. Ihr Abstand muss dann aber nicht der reduzierten Pendellänge entsprechen. Die Schneiden dürfen deshalb nicht gleich weit vom Schwerpunkt entfernt sein, damit diese Methode funktioniert.

Literatur

• Friedrich Georg Wieck, Otto Wilhelm Alund: Naturkrafterna och deras användning (Naturkräfte und deren Anwendung). 1873–1875, S. 99, Website

Weblinks

• Physikpraktikum RP TU Dresden (PDF; 2,1 MB)