Diskussion:Zentraler Grenzwertsatz

Name

hallo, ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube der satz müsste von "Lindeberg-Lévy" sein (nicht lindberg). habe aber weder über Lindberg (den mathematiker) noch über Lindeberg einen artikel gefunden. Die genannte bediungung ist aber auch von Lindeberg. Einen Artikel zu Lévy gibts übrigens, vielleicht kann den ja mal jemand verlinken. Xycolon 21:01, 2. Jul. 2007 (CEST)

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Ich arbeite gerade an der Übersetzung des englischen Beitrags. Habe den ersten Teil, der das Ergebnis zusammenfasst, schon mal eingestellt. Rest folgt asap. Amadeus

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Hallo, koenntest du bitte noch die geplotteten Funktionen spezifizieren in http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:NormalBinomial.png Also Angabe der Konstanten a,b,c in f(x) = a * e^( -b/[x-c]^{2} ) Danke, Lars

Abkürzung

die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum alle dieselbe Verteilung D aufweisen und unabhängig sind (u.i.v.).

u.i.v.? --Abdull 13:49, 18. Jun. 2007 (CEST)

unabhängig und identisch verteilt; meist aber i.i.d., independent identically distributed.--Mediocrity 14:20, 18. Jun. 2007 (CEST)

Jau, danke - es gibt auf der englischen Wikipedia dazu sogar einen eigenen Artikel: en:Independent and identically-distributed random variables. --Abdull 18:18, 19. Jun. 2007 (CEST)

Der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung

Habe den Abschnitt leicht überarbeitet, dabei auch aus Lindberg Lindeberg gemacht (sieh oben unter "Name"). Außerdem habe ich den Satz "Die Verteilung von S_n geht dann – gewissermaßen – für n → ∞ gegen die Normalverteilung N(nμ,σ²n)" rausgenommen, weil das keine so tolle Formulierung ist. --Jesi 18:44, 28. Jul. 2007 (CEST)

Varianz der Summe richtig?

Hallo, seid Ihr sicher, dass die Varianz der n-ten Teilsumme $S_{n}$ gleich $n\sigma ^{2}$ ist? Ich würde sagen, sie ist ${\frac {\sigma ^{2}}{n}}$. Der Mittelwert dürfte aber stimmen. -- 129.69.45.9 22:04, 28. Jul. 2009 (CEST)

Die Varianz einer Summe (paarweise) unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen, siehe Varianz (Stochastik)#Varianz von Summen von Zufallsvariablen. -- Jesi 22:20, 28. Jul. 2009 (CEST)

Zentraler Grenzwertsatz und Wikipedia

Mit bestimmten Vorbehalten in Bezug auf Wikipedia kann man die im Einklang mit Zentraler Grenzwertsatz stehende Schlussfolgerung periphrasieren: Wenn das Material eines Wikipediaartikels eine Summe vieler unabhängiger Texte von Teilnehmer darstellt, trägt jeder von denen einen kleinen Beitrag bezüglich des allgemeinen Ergebnisses bei, so strebt die Objektivität und die Fülle der Erfassung des resultierenden Materials bei der Vergrößerung der Zahl der Teilnehmer nach dem Idealen. Vladimir Baykov (Diskussion) 21:28, 21. Jul. 2013 (CEST)92.201.116.130 18:48, 7. Okt. 2013 (CEST)

"Ein möglicher Beweis des Satzes beruht auf..."

Was ist gemeint mit möglicher Beweis? Das das ein Beweis unter vielen ist, oder das das nur vielleicht ein Beweis ist? GIbt es dazu eine Quelle? Gruß --Zulu55 08:12, 13. Sep. 2011 (CEST)

Der Verfasser hat klargestellt: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zentraler_Grenzwertsatz&curid=31670&diff=93587497&oldid=92812539 --Zulu55 10:35, 13. Sep. 2011 (CEST)

"Fehlt da nicht noch tightness als Voraussetzung?"

Ist lange her, aber ich meine mich zu erinnern, dass die Tightness eine Voraussetzung für den Zentralen Grenzwertsatz ist, oder? Sehe ich hier nicht. Nur als Anregung. (nicht signierter Beitrag von 170.56.58.146 (Diskussion) 09:39, 4. Apr. 2014 (CEST))

Für den „ganz normalen“ zentralen Grenzwertsatz, wie er im Artikel steht? Ich denke, das hast du falsch in Erinnerung, wo sollte da noch etwas fehlen? Oder anders ausgedrückt: Dass die $Z_{n}$ unter den gegebenen Voraussetzungen tight (straff) sind, ist sowieso klar (z. B. mit der Tschebyscheff-Ungleichung). Aber es fällt auf, dass hier ein Artikel Straffheit fehlt … -- HilberTraum (Diskussion) 11:52, 4. Apr. 2014 (CEST)

"Sei X1, X2, X3, ... eine Folge von Zufallsvariablen" ist mehrdeutig

I.d.R. wird sich unter "Zufallsvariable" ein Wert vorgestellt. Dass es sich hier um ein "Spektrum" von Werten (wie eine Messung) handelt, wird nur klar, wenn man sich bereits mit dem Thema auskennt. Auch der Link zu "Zufallsvariable" deutet im ersten Satz einen einzigen Wert an: "In der Stochastik ist eine Zufallsvariable [...], eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist". Eine eindeutigere Formulierung wäre hier wünschenswert. --BookRings (Diskussion) 15:57, 5. Mär. 2015 (CET)

Nein, das ist schon so richtig: $X_{k}$ ist, wenn man so will, der Wert, den man bei der $n$-ten Messung erhält. Diese zufälligen Messungen/Beobachtungen werden alle addiert. -- HilberTraum (d, m) 16:43, 5. Mär. 2015 (CET)

Hinter $X_{k}$ stehen doch mehrere Werte. D.h. $X_{1}$ ist eine Menge an Werten. D.h. es gibt $X_{1,1}$ , $X_{1,2}$ ,$X_{1,3}$ , ... ,$X_{1,n}$

$X_{2,1}$ , $X_{2,2}$ ,$X_{2,3}$ , ... ,$X_{2,n}$ $X_{3,1}$ , $X_{3,2}$ ,$X_{3,3}$ , ... ,$X_{3,n}$ Wenn $X_{1}$ keine zweidimensionale Variable wäre, könnte sie garkeine Verteilung aufweisen. Der Abschnitt klärt allerdings nicht darüber auf, dass es sich um eine zweidimensionale Variable handelt. Es lässt viel mehr den Schluss zu, dass es nur folgendes gibt (mit Beispielwerten): $X_{1}=2$ , $X_{2}=4$ ,$X_{3}=1$ , ... ,$X_{n}=6$ Woraus die Summe $S_{n}$ wieder genau **eine** Zahl wäre. Was allerdings wieder nicht sein kann, weil auch diese zweidimensional sein **muss**, um eine Verteilung aufzuweisen. Dadurch wirkt der Abschnitt paradox. --BookRings (Diskussion) 16:53, 9. Mär. 2015 (CET)

Nein, das gibt leider gar keinen Sinn, was du schreibst. Schau dir die Sache mal in einem Stochastikbuch an. Vor allem solltest du dir klar machen, was eigentlich Zufallsvariablen sind: Das sind keine Zahlen, sondern Funktionen. -- HilberTraum (d, m) 18:20, 9. Mär. 2015 (CET)

Leider wird das in den Stochastikbüchern auch doppeldeutig beschrieben. Dann einfach mal die Frage: Wie sollte denn $X_{1}$ deiner Meinung nach eine Verteilung aufweisen, wenn dort eine einzige Zahl enthalten ist?

> Das sind keine Zahlen, sondern Funktionen. Dann fragt man sich doch, warum es dann nicht "Zufallsfunktionen" genannt wird... aber das soll nicht das Thema sein (nicht signierter Beitrag von BookRings (Diskussion | Beiträge) 12:12, 10. Mär. 2015 (CET))

Das hat wohl historische Gründe, so wie „abhängige Variable“ beispielsweise in der Physik. Der Name ändert aber nichts daran, dass Zufallsvariable Funktionen sind, die verschiedene Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten annehmen können. Diese Wahrscheinlichkeiten sind dann die „Verteilung“ der möglichen Werte, siehe auch den Artikel Wahrscheinlichkeitsverteilung. Grüße -- HilberTraum (d, m) 12:44, 10. Mär. 2015 (CET)

Und das ist ein Grund das nicht zu erklären? Eine Funktion ist zweidimensional. Bei dem Absatz hört es sich nach einer Variablen an, die eindimensional ist. Es kann ja Zufallsvariable heißen und eine Funktion sein. Aber dann sollte das doch im Artikel auch erklärte sein(?) --BookRings (Diskussion) 15:58, 10. Mär. 2015 (CET)

Hm, was du mit ein- und zweidimensional meinst, will mir nicht so recht klar werden. In denke aber nicht, dass man in jedem Artikel, in dem die Begriffe Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung vorkommen, diese jedesmal neu erklären kann (zumal das auch gar nicht so kurz und einfach geht): Dafür gibt es ja Links. -- HilberTraum (d, m) 18:47, 10. Mär. 2015 (CET)

Hm.. Die Formulierung ist mir ein wenig Dorn im Auge. Allerdings sollte ich wohl erstmal rüber zu den Zufallsvariablen gehen, bevor ich mich hier auslassen. Danke für deinen (vielleich unbewussten) Hinweis :)--BookRings (Diskussion) 21:51, 17. Mär. 2015 (CET)

Historie fehlt

Es fehlen fast alle Informationen zur Geschichte.--Claude J (Diskussion) 09:37, 20. Sep. 2015 (CEST)

Gerade recherchiert- da ist wenig zu finden. StatistikusMaximus (Diskussion) 16:17, 23. Aug. 2020 (CEST)

Die Angabe Fischer ist m.E. sehr ausführlich.--Lefschetz (Diskussion) 19:47, 23. Aug. 2020 (CEST)

Bemerkung aus sprachlicher Sicht

Der Abschnitt sollte aus meiner Sicht wieder raus, da kein (fachlich bezogener) Informationsgewinn und so auch nicht ganz richtig. Man vergleiche die englische Version, wo unter anderem der Satz auch als zentraler Satz gemeint ist und nicht nur als Satz zum zentralen Grenzwert. An sich sind beide Sichtweisen und damit Schreibweisen gerechtfertigt.--ChristianTS (Diskussion)

Bin der gleichen Meinung, reinste POV bzw. Theoriefindung.--Claude J (Diskussion) 10:44, 26. Nov. 2015 (CET)

Bitte nicht eine Meinung in der Diskussion äußern und ohne abzuwarten, eine Minute später die Änderung durchführen.

Ich bin für das Beibehalten, weil inhaltlich korrekt und sinnvoll und von allgemeinem Interesse. Gerade die Äußerung von "Unsigned", es könnte ein "Zentraler Satz" gemeint sein (was völlig falsch ist und von Unverständnis zeugt), beweist, wie wichtig es ist, dass dieser Umstand in einer Allgemeinbildenden Enzyklopädie erwähnt wird und hat somit auch Relevanz. --Cms metrology (Diskussion) 20:50, 26. Nov. 2015 (CET)

In der derzeitigen Version klare Theoriefindung. Sollte sich in der einschlägigen Fachliteratur etwas zu dieser Thematik finden, wäre eine Referierung schön. Ansonsten bitte streichen. --Lefschetz (Diskussion) 23:06, 26. Nov. 2015 (CET)

Es ist weder sinnvoll noch korrekt (wieso soll sich das "zentral" nicht auf Satz beziehen ? Ist im Gegenteil sogar das Naheliegenste). Wenn man sich die Einleitung ansieht steht da schon dass der Ausdruck von Polya eingeführt wurde, in einem deutschsprachigen Aufsatz. "vermutlich falsche Übersetzung aus dem Englischen" ist somit schon einmal obsolet.--Claude J (Diskussion) 05:58, 27. Nov. 2015 (CET)

Zu diesem Unverständnis von "Unsigned": Ich denke mit einem abgeschlossenen Mathematikstudium trifft das nicht ganz zu. Hatte lediglich nicht die Muße mich anzumelden. Wie schon von anderen erwähnt (s. auch englische Version!) handelt es sich um einen zentralen Satz (einer der am meisten praktisch angewandten Sätze in der Statistik/Stochastik). Nach meiner Sicht ist auch deine Benennung gerechtfertigt, aber dann kann man es auch gleich ganz richtig machen und "Satz über zentrale Limesverteilung" oä. nennen. Jedenfalls ist das kein sprachlicher Fehler wie in deinem Abschnitt behauptet. --ChristianTS (Diskussion) 09:02, 27. Nov. 2015 (CET)

Ich würde mich freuen wenn ihr die Erläuterung zur Sprache drin lasst und falls sich noch Erkenntnisse ergeben anpasst. Die Bezeichnung ist für mich tatsächlich schwer verständlich. Und eine Erläuterung hilft mir als Leser weiter. Dass die Bezeichnung zentraler Satz bedeuten soll fände ich jedenfalls ungewöhnlich, weil ich mir nicht vorstellen kann dass der Erfinder seine Erfindung als so bedeutungsvoll loben wollte.--Christian Stroppel (Wünsche) 07:10, 29. Nov. 2015 (CET)

Polya ist nicht der "Erfinder". Wie oben schon angesprochen fehlt fast der Ganze Geschichtsteil und der Satz hat eine lange verwickelte Geschichte. Es gibt verschiedene Grenzwertsätze (Sätze über asymptotische Verteilung), die sich aber vielfach auf diesen hier zurückführen lassen. Deshalb zentral. Der Aufsatz von Polya, von dem wahrscheinlich der Name stand, ist im Artikel verlinkt, dort steht auch gleich auf der ersten Seite, warum er ihn so nannte: weil er eine zentrale Rolle spielte.--Claude J (Diskussion) 08:40, 29. Nov. 2015 (CET)

Was Du meinst auf der ersten Seite dieses Aufsatzes zu sehen (der Satz sei zentral), kann ich nicht finden. Abgesehen davon gibt es noch weitere Argumente dafür, dass nicht der Satz zentral ist, sondern die Grenzwerte:

1. Polya ist nicht deutscher Muttersprachler, sondern "polyglott" und somit "polylingual". Ob er dieser feinen Differenzierungen der deutschen Sprache mächtig war, weiss ich nicht, aber es besteht zumindest die Möglichkeit, dass er ebenfalls vom Englischen falsch ins Deutsche zurückübersetzt hat
2. Es ist für mich offensichtlich, dass es bei dem Grenzwertsatz um konvergierende zentrale Werte geht, demnach "zentrale Werte" und nicht "zentraler Satz".
3. In der englischsprachigen Wikipedia finden wir auch beide Interpretations-Möglichkeiten: Zitat "The actual term "central limit theorem" (in German: "zentraler Grenzwertsatz") was first used by George Pólya in 1920 in the title of a paper.[42][43] Pólya referred to the theorem as "central" due to its importance in probability theory. According to Le Cam, the French school of probability interprets the word central in the sense that "it describes the behaviour of the centre of the distribution as opposed to its tails".[43]"

Im Lichte von 1 und 2 halte ich die Le-Cam-Interpretation für wahrscheinlicher, mindestens aber gleichwertig und statthaft. Einfach löschen, ist schlechter Stil und zeugt von wenig Sprachkompetenz. --Cms metrology (Diskussion) 19:48, 1. Dez. 2015 (CET)

Wenn da steht, dass die Benennung wahrscheinlich von Polya stammt (steht auch im Buch von Hans Fischer) dann dürfte wohl klar sein dass auch keine englischsprachige ältere Vorlage vorhanden ist. "Central Limit Theorem" ist eine Übersetzung aus dem Deutschen und nicht umgekehrt. Und wenn sich wie du für offensichtlich hälst zentral auf Grenzwert beziehen würde hätte Polya "Zentralgrenzwertsatz" geschrieben und nicht "zentraler Grenzwertsatz". Le Cam ist viel später, also irrelevant.--Claude J (Diskussion) 20:31, 1. Dez. 2015 (CET)

Da du die Stelle nicht gefunden hast, zitiere ich den ersten (!) Absatz seines Papers: "Das Auftreten der Gaußschen Wahrscheinlichkeitsdichte e^(-x²) bei wiederholten Versuchen, ..., ist bekanntlich aus einem und demselben Grenzwertsatz zu erklären, der in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine zentrale Rolle spielt." (s. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0008&DMDID=DMDLOG_0024&LOGID=LOG_0024&PHYSID=PHYS_0181 erste Seite seines Artikels). Und bevor wir da was Falsches stehen haben, bin ich dafür, dass der Abschnitt auch draußen bleibt. Lieber nichts, als was Falsches da stehen haben. Abgesehen davon, dass für den Artikel die Mathematik eher interessant ist als sprachliche Kleinkriege. --ChristianTS (Diskussion) 09:59, 2. Dez. 2015 (CET)

"Englischsprachig ältere Vorlage": habe ich nie behauptet. Hingegen: Auch meine wissenschaftlichen Arbeiten formuliere ich gerne zunächst auf Englisch und muss sie dann ins Deutsche rückübersetzen, falls das Deutsche gewünscht wird (siehe oben: "polylingual"). Claude J, du magst auf der technischen Ebene viel Wissen haben, aber wenn Du behauptest zu wissen, wie Polya gedacht, formuliert und bezeichnet hat und ignorierst, dass er als nicht-Deutscher vermutlich weniger perfekt in Deutsch war, als Du es bist, dann finde ich das sehr mutig. Aber ich kann damit leben, dass diese Aspekt und der Gedanke von Le Cam (der ja vermutlich auch nicht dumm war) zumindest in der englischsprachigen Wikipedia existiert. Von mir aus EOD. --Cms metrology (Diskussion) 21:01, 6. Dez. 2015 (CET)

Bemerkung zu Verteilungen, für die der Satz nicht gilt

Sollte man bei den Bemerkungen noch eine zur Nichterfüllung der Voraussetzungen des Satzes bei gewissen Verteilungen hinzufügen? Also etwa:

• Verteilungen wie die Cauchy-Verteilung, deren Erwartungswert und/oder Varianz nicht existiert bzw. unendlich ist, erfüllen die Voraussetzungen des Zentralen Grenzwertsatzes nicht. Für Zufallsgrößen $X_{i}$ mit solchen Verteilungen kann man nicht einmal normierte Partialsummen $Z_{n}$ definieren, sodass auch keine Aussage über deren Verteilung (insbesondere für $n\rightarrow \infty$) möglich ist. Im Fall der Cauchy-Verteilung etwa ist $X_{1}+\cdots +X_{n}$ wiederum Cauchy-verteilt und die Verteilung konvergiert nicht gegen eine Normalverteilung.

--85.179.16.74 13:28, 4. Sep. 2018 (CEST)

Naja, genau genommen lässt sich in diesem Fall die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes ja noch nicht einmal formulieren, also ist dann auch nicht recht klar, was dann nicht gilt. Die Summe $X_{1}+\cdots +X_{n}$ konvergiert ja auch dann nicht, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind. -- HilberTraum (d, m) 19:36, 5. Sep. 2018 (CEST)

Alpha-stabile Verteilung

@Biggerj1 Ich würde das Adjektiv im laufenden Text als alpha-stabil oder $\alpha$-stabil, aber nicht als Alpha-stabil schreiben.--Sigma^2 (Diskussion) 09:59, 25. Jul. 2022 (CEST)

@Sigma^2: Vielen Dank, ich habe deine Anregung eingebaut! Ich habe untern noch einen Diskussionspunkt eingefügt. Magst du dich dazu auch äußern? biggerj1 (Diskussion) 14:01, 25. Jul. 2022 (CEST)

Stabile Verteilungen

Folgen die Zufallsvariablen einer stabilen Verteilung, welche nicht die Normalverteilung ist, dann konvergiert die Verteilung der Summe nicht gegen die Normalverteilung. Würdet ihr das explizit mit in den Artikel reinnehmen? Ich finde die Info dort bisher nicht. Übersehe ich etwas? biggerj1 (Diskussion) 14:01, 25. Jul. 2022 (CEST)