Wärmewiderstand

Der (absolute) Wärmewiderstand (auch Wärmeleitwiderstand, thermischer Widerstand) $R_{th}$ ist ein Wärmekennwert und ein Maß für die Temperaturdifferenz, die in einem Objekt beim Hindurchtreten eines Wärmestromes (Wärme pro Zeitspanne oder Wärmeleistung) entsteht. Der Kehrwert des Wärmewiderstands ist der Wärmeleitwert $\lambda$ des Bauteils.

Definition

Der thermische Widerstand $R_{th}$ bzw. der thermische Leitwert λ ist definiert als das Verhältnis von Temperaturdifferenz zu Wärmefluss durch einen Körper:

$R_{\mathrm {th} }={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}\quad$ bzw. $\quad \lambda ={\frac {\dot {Q}}{\Delta T}}$

mit

• $\Delta T$ – Temperaturdifferenz (z. B. zwischen Außen- und Innenseite einer Thermosflasche oder zwischen einer Kühlfläche und der Umgebungsluft)
• ${\dot {Q}}$ – Wärmestrom (z. B. die Verlustleistung durch ein Fenster oder der Wärmestrom im Wärmeübertrager)

Die Einheit des Wärmewiderstands ist K/W, die des Wärmeleitwertes dementsprechend W/K.

Analogie zum ohmschen Gesetz

Thermische Größen haben Analogien zu denen des elektrischen Widerstandes, die sich auch in ihren Namen zeigen.

Es treten Analogien zum elektrischen Strom auf, die die Anwendung des ohmschen Gesetzes und der kirchhoffschen Regeln bei der Wärmeübertragung ermöglichen. Diese sind:

Thermodynamik	Elektrischer Strom
Absoluter Wärmewiderstand $R_{\mathrm {th} }$	Elektrischer Widerstand $R$
Temperaturdifferenz $\Delta T$	Elektrische Potentialdifferenz $\Delta \varphi$ = Elektrische Spannung $U$
Wärmestrom ${\dot {Q}}$	Elektrischer Strom $I$
Wärmeleitfähigkeit $\lambda$	Elektrische Leitfähigkeit $\sigma$
Wärmekapazität $C_{\mathrm {th} }=c_{\mathrm {v} }\cdot V$	Elektrische Kapazität $C$

Anwendungsbeispiele

Für einen Körper mit konstanter Querschnittsfläche $A$ senkrecht zum Wärmestrom $Q$ lässt sich der Wärmewiderstand $R_{\mathrm {th} }$ bei homogenen Material über dessen Wärmeleitfähigkeit $\lambda$ und die Länge (bzw. Dicke) $l$ berechnen:

$R_{\mathrm {th} }={\frac {l}{\lambda \cdot A}}$

Das Hantieren mit Widerständen ist praktischer in Situationen, in denen Widerstände in Reihe auftreten, wie der Wärmeübergang auf einen Kühlkörper, die Wärmeleitung im Kühlkörper und schließlich der Wärmeübergang an die Luft. Mit Leitwerten lassen sich parallel aufgebaute Widerstände leicht zusammenfassen (z. B. eine Wand, bei der ein Teil aus Beton, Ziegelmauerwerk und Fenster besteht), da sich die einzelnen Leitwerte zum Leitwert des gesamten Bauteils addieren.

Bauphysik

Wenn bei einer Styroporplatte mit einem Wärmewiderstand von 1 K/W zwischen den beiden Seiten ein Temperaturunterschied von 20 K herrscht, dann ergibt sich ein Wärmestrom durch die Platte von:

${\dot {Q}}={\frac {\Delta T}{R_{\mathrm {th} }}}=\mathrm {{\frac {20\;K}{1\;{\frac {K}{W}}}}=20\;W} \,$

Saison-Wärmespeicher

Ein Wärmespeicher mit konstanter Umgebungstemperatur entlädt sich durch die eigene Wärmedämmung. Der Verlauf der Temperaturdifferenz $\Delta T$ zur Umgebung über der Zeit $t$ ist

$\Delta T=\Delta T_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

analog zum Spannungsverlauf bei einem Kondensator, der über einen Widerstand entladen wird:

$U=U_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}.$

Die Zeitkonstante $\tau$, mit der sich Wärmespeicher und Kondensator entladen, ist

$\tau =R\cdot C\;.$

Jetzt als Zahlenbeispiel, die meisten Ergebnisse sind gerundet: Wärmespeichermedium sei Wasser mit 45 % Ethylenglycol, 7 m breit, 7 m lang, 4 m hoch:

$V=7\cdot 7\cdot 4\;\mathrm {m} ^{3}=196\;\mathrm {m} ^{3}$

Die spezifische Wärmekapazität der Wasser-Glycol-Mischung ist

$c_{\mathrm {v} }=3{,}5\;{\frac {\mathrm {MJ} }{\mathrm {m} ^{3}\mathrm {K} }}$

Die Wärmekapazität ist das Produkt aus volumenbezogener spezifischer Wärmekapazität und Volumen

$C_{\mathrm {th} }=c_{v}\cdot V=686\;\mathrm {\frac {MJ}{K}}$

Wärmedämmung sei Schaumglas-Schotter mit einer Schichtdicke $l=0{,}5\,\mathrm {m}$. Als Oberfläche der Wärmedämmung wird die Oberfläche des Wassertanks eingesetzt:

$A=(2\cdot 7\cdot 7+4\cdot 4\cdot 7)\;\mathrm {m} ^{2}=210\;\mathrm {m} ^{2}$

Die spezifische Wärmeleitfähigkeit von Schaumglas-Schotter ist

$\lambda =0{,}08\;\mathrm {\frac {W}{m\ K}}$

Das ergibt als Wärmewiderstand

$R_{\mathrm {th} }={\frac {l}{\lambda \cdot A}}=0{,}03\;\mathrm {\frac {K}{W}}$

Jetzt lässt sich die Zeitkonstante der Selbstentladung berechnen:

$\tau =R_{\mathrm {th} }\cdot C_{\mathrm {th} }=20{,}6\cdot 10^{6}\;\mathrm {s} =238\;{\text{Tage}}$

Nach 238 Tagen ist die Differenz zwischen Temperatur im Wasser und in der Umgebung also auf 37 % ($=e^{-1}$) des Anfangswerts gesunken.

Elektronik

Bei der Auslegung der Kühlung von Halbleitern oder anderen Schaltungselementen in elektronischen Schaltungen ist der Wärmewiderstand eines konkreten Kühlkörpers die maßgebliche Kenngröße zu dessen Auswahl. Sie wird vom Kühlkörperhersteller angegeben, z. B. für freie Konvektion und ist möglichst klein zu halten.

Der Wärmewiderstand eines Bauelements ohne Kühlkörper zur Umgebung kann zur Kontrolle herangezogen werden, ob eine Kühlkörpermontage überhaupt erforderlich ist – er wird vom Bauteil-Hersteller mit R_thJ/A (von engl. Junction/Ambient) angegeben.

Im Halbleiterbauteil selbst tritt ein Wärmewiderstand zwischen Chip und Gehäuse-Kühlfläche auf. Er wird vom Hersteller mit R_thJ/C (von engl. Junction/Case) angegeben.

Die Montage selbst und möglicherweise ein Wärmeleitpad verursachen weitere Wärmewiderstände. Befindet sich der Kühlkörper innerhalb eines Gehäuses oder eines Baugruppenträgers, so ist zu beachten, dass er die Wärme an Luft abgibt, deren Temperatur möglicherweise deutlich über der Temperatur der Umgebung liegt.

Aus der Verlustleistung $P_{\,}\$ und der Summe aller Wärmewiderstände $R_{\mathrm {th} }\$ kann die Temperaturdifferenz $\Delta T\$ zwischen Chip und der Umgebung des Kühlkörpers berechnet werden:

$\Delta T=P\cdot R_{\mathrm {th} }$

Ist der Wert zu groß, so ist der Wärmewiderstand des Kühlkörpers zu verringern, z. B. durch einen Kühlkörper mit Lüfter oder Wärmerohr, oder das Gehäuse zu belüften.

Siehe auch

• Wärmeübergangskoeffizient (Trocknungstechnik)
• Wärmedurchgangskoeffizient (Bauphysik)