Diskussion:Präferenzrelation

Ohne Überschrift

Der Begriff der Präferenzordnung stammt eigentlich aus der Spieltheorie und wurde so auf "natürliche Weise" in die Mikroökonomie übernommen. Wäre es nicht sinnvoller die saubere mathematische Definition zu benutzen und den Artikel in die Kategorie "Ordnungstheorie" oder "Spieltheorie" einzugliedern?

Dieser unbelegte und unsignierte Beitrag kann archiviert werden.--Sigma^2 (Diskussion) 17:57, 26. Aug. 2022 (CEST)

Alternative Axiome

Was hat es damit auf sich, die Präferenzordnung auch mal über "Asymmetrie" und "Negative Transitivität" zu definieren? Beide Ansätze müssten ja äquivalent sein, wenn es aufgehen soll. Kenne mich da nicht so genau aus. Gruß, --WissensDürster (Diskussion) 20:53, 12. Feb. 2013 (CET)

das ist der „weg“ über die strikte präferenzrelation. aktuell wird im artikel nur der weg ausgehend von der präferenz-indifferenz-relation dargestellt. man kann aber zeigen, dass für folgende aussagen

(1) P ist die negation von R und eine asymmetrische und negativ transitive binäre relation.

(2) R ist eine schwache ordnung (über eine nichtlineare menge) mit asymmetrischem teil P.

gilt: (1) => (2). Insbesondere ist, ökonomisch gesprochen, eine präferenzordnung eine schwache ordnung, d.h. man kann die rationalität einer präferenz-indifferenz-relation auch dadurch gewährleisten, dass man ausschließlich die jeweilige (strikte) präferenzrelation betrachtet und diese auf asymmetrie und negative transitivität untersucht. ich schreibe das mal auf meine todo-liste, man kann hier noch vieles ergänzen. grüße, — Pajz (Kontakt) 23:12, 12. Feb. 2013 (CET)

Das finde ich super, dass du es dir notierst. Manchmal reicht ja auch schon eine ordentlich Anmerkungen in 2-3 Sätzen. Gruß, --WissensDürster (Diskussion) 23:26, 12. Feb. 2013 (CET)

Besser? — Pajz (Kontakt) 22:43, 13. Feb. 2013 (CET)

Nun ja, es ist ja schon etwas mehr als ein Nebensatz geworden ;) Wir fehlen als Einleitung für den Abschnitt eben oma-taugliche Worte der Art "man kann auch mit anderen Axiomen anfangen, im folgenden wird gezeigt, dass andere Axiome gleichwertig sind etc." Super ausführliche Arbeit :) --WissensDürster (Diskussion) 00:23, 14. Feb. 2013 (CET)

Existenz der Nutzenfunktion

Dieser Artikel enthält einen Fehler: Eine Präferenzordnung kann nur dann durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden, wenn sie stetig ist (Debreus Repräsentationstheorem). Der Fehler wird evident, wenn man entweder die zugrundeliegende Literatur anschaut oder wenn man sieht, dass schon dieser Artikel einen inneren Widerspruch enthält: Die lexikographische Präferenzordnung (die rational ist, aber nicht stetig), kann eben nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden. Ich rücke das jetzt einmal gerade. --Herbert81 (Diskussion) 08:41, 26. Jul. 2015 (CEST)

user:Herbert81, hmm, das stimmt so aber nicht. Eine Nutzenfunktion muss nicht stetig sein (freilich impliziert die Stetigkeit der Präferenzordnung die Stetigkeit der Nutzenfunktion), und dass eine Repräsentationsfunktion nur für stetige Ordnungen existiert, ist nicht richtig. Der „Fehler“ des nun entfernten und leider unzutreffend korrigierten Theorems ist, dass die Abzählbarkeit von X nicht vorausgesetzt wird. Würde sie das, dann wäre es richtig: Jede totale Quasiordnung auf einer abzählbaren Menge ist durch eine Repräsentationsfunktion vom beschriebenen Typ ($x\geq y$ iff. $f(x)\geq f(y)$) aka Nutzenfunktion repräsentierbar. Das wäre die Korrektur gewesen. Insofern ist die vorgenommene Änderung auch eine Verschlechterung. „Eine Präferenzordnung kann genau dann durch eine reellwertige Nutzenfunktion $u$, repräsentiert werden, wenn sie stetig ist“ stimmt auf mehreren Ebenen nicht. Wenn man die Abzählbarkeit nicht voraussetzt, ist sie immer noch falsch; aber auch grundsätzlich können nicht-stetige Präferenzordnungen unter bestimmten Voraussetzungen sehr wohl durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden – das ist völlig gängig. Man kann etwa zeigen, dass jede Präferenzordnung (also eine totale Quasiordnung) auf X reellwertig repräsentiert werden kann iff. X separabel ist, und offensichtlich setzt sie Separabilität nicht die Stetigkeit voraus. — Pajz (Benutzer Diskussion:Pajz) 10:25, 26. Jul. 2015 (CEST)

Benutzer:Pajz: Teils Widerspruch, teils Zustimmung: Erstens habe ich nicht gesagt, dass eine Nutzenfunktion stetig sein muss, sondern nur, dass eine stetige Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden kann. Zweitens impliziert Abzählbarkeit der Alternativenmenge natürlich, dass die Präferenzordnung stetig ist. Drittens ist das, was ich geschrieben habe, nichts anderes als Debreus representation theorem. Hierfür findest du im Netz -zig Quellen. Viertens aber hast du recht, dass das Wort "genau" ein Wort zuviel ist: Nach Debreus Theorem kann eine stetige Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden; die Stetigkeit ist also hinreichend, aber nicht notwendig. Andere Bedingungen mögen ebenfalls hinreichend sein. Ich korrigiere das.--Herbert81 (Diskussion) 11:15, 26. Jul. 2015 (CEST)

Ergänzung: Die Variante mit der abzählbaren Menge beinhaltet eine unübliche und zu enge Voraussetzung: Praktisch alle ökonomischen Modelle arbeiten auf dem Rn, der nicht abzählbar ist. Außerdem impliziert Abzählbarkeit der Alternativenmenge, wie gesagt, Stetigkeit der Präferenzordnung. Der Satz ist dann zwar richtig, aber ein Rückschritt gegenüber Debreu (1954).--Herbert81 (Diskussion) 11:22, 26. Jul. 2015 (CEST)

Nachfrage: Hättest du ein Beispiel oder eine Quelle für eine Präferenzordnung, die separabel und nicht stetig ist und die durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden kann?--Herbert81 (Diskussion) 11:26, 26. Jul. 2015 (CEST)

Herbert81, na ja, es war eben nicht der Satz von Debreu, und du schreibst ja selbst unter „Viertens“, warum es falsch war wie es war, insofern verwundert mich der dies betreffende Hinweis (das war im Ergebnis ja keine bloße Ungenauigkeit, sondern verdrehte den Sinn wirklich gravierend). Dass die Variante mit abzählbarem X „eine unübliche und zu enge Voraussetzung“ darstelle, ist Geschmackssache. Es ist durchaus – freilich auch aus didaktischen Gründen – gängig, die Thematik so einzuführen (siehe etwa Bridges/Mehta, Representation of Preference Orderings, 1995 oder die Standardreferenz in diesem Gebiet, Fishburn, Utility Theory for Decision Making, 1970). // Wenn wir schon bei den Details sind: Eine weitere Voraussetzung des Satzes von Debreu ist ja die Zweitabzählbarkeit des topologischen Raums; das fehlt aktuell noch. // Was deine „Ergänzung“ betrifft: Ein Beispiel wäre etwa die Klasse der oberhalbstetigen totalen Quasiordnungen auf einem zweitabzählbaren, topologischen Raum. Rader (1963) hat ja (unter anderem) gezeigt, dass die stets repräsentierbar sind (sogar durch eine oberhaltstetige Funktion). — Pajz (Kontakt) 06:39, 31. Jul. 2015 (CEST)

Benutzer:Pajz: i) Dein Einwand mit der Zweitabzählbarkeit ist berechtigt. Ich habe die hierfür hinreichende Annahme "zusammenhängende Teilmenge des Rn" genommen, die Debreu im Originalbeweis verwendet und die elementarer ist. ii) Gegenüber der ursprünglichen Fassung, jede Präferenzordnung sei durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar, ist dies doch nun ein Fortschritt, nicht wahr? iii) Was machen wir jetzt mit dem Artikel "Nutzenfunktion", in dem derselbe Unsinn steht? Ändern oder rauswerfen und auf diesen Abschnitt verweisen? --Herbert81 (Diskussion) 09:14, 31. Jul. 2015 (CEST)

Herbert81: (Elementarer? Eigentlich im Gegenteil, der topologische Raum müsste ja erst gar nicht metrisch sein … Ich muss gestehen, die Auswahl dieses Theorems auch nicht ganz nachvollziehen zu können, denn die Errungenschaft von Debreu ist doch eigentlich, von der sehr fordernden Zusammenhangseigenschaft – die auch gerade bei der Arbeit im $\mathbb {R} ^{n}$ „nervt“ – wegzukommen; so wie ich das sehe ist die aktuelle Variante ein relativ einfaches Korrolar des Repräsentationstheorems von Eilenberg (1941, hier nach Bridges/Mehta, op. cit., S. 46: „Let X be a connected separable topological space, and R a continuous total preorder on X. Then there exists a continuous real-valued order isomorphism on X“) unter Anwendung der Einsicht, dass jede Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ separabel ist. Aber wie dem auch sei, scheint jedenfalls zu stimmen.) In Nutzenfunktion kann man das ja alles auf den $\mathbb {R} ^{n}$ beschränken, dann wird es wohl passen; aber habe den Artikel jetzt nur überflogen. Sonst kannst du das ja ggf. nochmal präzisieren, wo es hakt. grüße, — Pajz (Kontakt) 20:16, 3. Aug. 2015 (CEST)

@Pajz:: Betrachte es doch einmal aus Sicht des normalen WP-Anwenders. Der versteht nicht den Unterschied zwischen Topologie und Metrik und will einfach wissen, ob sich jede Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentieren lässt. Er bewegt sich im Rn. Der Satz in der jetzigen Form sagt ihm: ja, wenn die Präferenzordnung stetig ist. Vielleicht könnte man noch hinzufügen, dass bei Endlichkeit oder Abzählbarkeit der Alternativenmenge ebenfalls alles in Butter ist. Der Rest wird dem normalen Betrachter zu hoch sein. Gruß, --Herbert81 (Diskussion) 22:17, 3. Aug. 2015 (CEST)

Konvexität

Die Definition der Konvexität ist umständlich und unüblich: Man benötigt nicht drei Güterbündel, um diese Eigenschaft wie im mathematischen Bezugsartikel zu definieren, sondern nur zwei.--Herbert81 (Diskussion) 09:19, 26. Jul. 2015 (CEST)

Geschichte: Ragnar Frisch

Ich habe das schon hier und da in Sekundärliteratur gelesen und mal eingefügt. Aber ich kann das Primärwerk online nicht finden. Wurde wohl auch nie direkt englisch veröffentlicht. Schwierige Sache, meine Bibliothek gibt das auch nicht mehr. Mehr Recherche über Frischs Arbeit wäre interessant! --WissensDürster (Diskussion) 15:26, 4. Aug. 2015 (CEST)

Eigenschaften

Es ist nicht ganz klar, was mit Vollständigkeit gemeint ist,

1. $\forall \mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b}\in X{\text{ gilt }}\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{b}$ oder $\mathbf {x} _{b}R\mathbf {x} _{a}$
2. $\forall \mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b}\in X,\mathbf {x} _{a}\neq \mathbf {x} _{b}{\text{ gilt }}\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{b}$ oder $\mathbf {x} _{b}R\mathbf {x} _{a}$.

Wenn die erste Definition gemeint wäre, würde aus Vollständigkeit auch Reflexivität folgen. Wichtig wird dies im Unterabschnitt 'Präferenzordnung': "genau dann rational, wenn sie vollständig und transitiv ist".
(a) Kann die durch 1 < 2 < 3 transitiv geordnete Menge $M=\{1,2,3\}$ als Präferenzordnung interpretiert werden? $(M,<)$ wäre nicht vollständig geordnet im Sinn der ersten Definition, aber vollständig geordnet im Sinn der zweiten Definition.
(b) Ist "genau dann rational, wenn sie vollständig und transitiv ist" ein beweisbarer Satz oder wird hier nur die Definition von "rational" angegeben. Wenn es ein Satz ist, sollte angedeutet werden, wie Rationalität definiert ist, andernfalls sollte klargestellt werden, dass es nur eine Definition oder Sprachregelung ist. --Sigma^2 (Diskussion) 14:44, 24. Aug. 2022 (CEST)

Ich denke, es geht ziemlich klar aus dem Artikel hervor, dass die erste Definition gemeint ist. Unter Reflexivität ist es auch ausdrücklich erwähnt. So lese ich auch die Quelle, Jehle/Reny (2011).

Die Frage ist, was du mit "kann interpretiert werden" und (M,<) genau meinst. Interpretiert als R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,1)} ist es eine Präferenz-Ordnung, weil sie vollständig und transitiv ist. Ohne (1,1),(2,2),(3,3) - also wenn du nur Paare (a,b) mit a < b aufnehmen willst und Gleichheit ausschließt - ist sie es nicht. Intuitiv will man mit Präferenzrelationen hantieren, in denen das Individuum für jede Wahl weiß, was es will (Vollständigkeit) und bei Wahl zwischen Gleichen indifferent ist.

"Rationale Präferenz-Indifferenz-Relation" ist nur eine andere Bezeichnung für "Präferenz-Ordnung", es ist eine Definiton, so entnehme ich es auch dem Mas-Collel. Ich passe den Satz in der Definitionsbox an. --man (Diskussion) 20:18, 24. Aug. 2022 (CEST)

Danke, das sehe ich ein.--Sigma^2 (Diskussion) 00:14, 25. Aug. 2022 (CEST)

Mit dem Punkt Stetigkeit habe ich ein größeres Problem. Zunächst ist der Link auf stetige Funktionen eher wenig hilfreich, da es jetzt zunächst nicht um Funktionen geht. Dann heißt es für die Konturmengen "abgeschlossen bezüglich X". Das ist aber unklar: auf X als Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ kann man eine übliche von einer Metrik erzeugte Topologie betrachten. Aber auf X ist ja gerade durch die Präferenzrelation R eine Ordnung und eine Ordnungstopologie erzeugt. Damit ist unklar, bezüglich welcher topologischen oder metrischen Struktur die Konturmengen 'abgeschlossen' sein sollen. Der zweite Fall wäre wohl eher trivial, wenn nicht sogar automatisch erfüllt. --Sigma^2 (Diskussion) 00:16, 25. Aug. 2022 (CEST)

Ja, guter Punkt. Ich denker, hier hat es der Autor versäumt, zusätzliche Annahmen einzuführen. Jehle/Reny schreiben, bevor sie dieses Axiom bringen, ausdrücklich: "From now on we explicitly set X = R₊ⁿ.". Sollte man hier entsprechend verbessern. --man (Diskussion) 13:24, 26. Aug. 2022 (CEST)

Definition

Danke, Sigma², dass du zur Verbesserung des Artikel beitragen willst und das mit deinen Kommentaren auch schon getan hast. Aber: Ich denke, die Definition eingangs als Teilmenge des Rⁿ ist keine Verbesserung. Sie entspricht nicht der gängigen Definition. Üblich ist es, von Ordnungsrelationen beliebiger Mengen auszugehen, Beispiele für Standardwerke, die das so handhaben: Mas-Collel "Microeconomic Theory", Varian "Intermediate Microeconomis", Jely/Rehne "Advanced Microeconomic Theory" oder im Palgrave Dictionary of Economics doi:10.1057/978-1-349-95121-5_1335-1. Das hat auch seinen guten Grund, denn normalerweise geht man davon aus, dass ein Individuum zwischen zwei Alternativen ordinal entscheiden kann. Eine Zuweisung von (reellen) Werten, die so etwas wie einen Abstand implizieren ("wie viel ist a besser als b"), ist eine viel strengere Annahme. Die kommt normalerweise erst beim Übergang zu Nutzenfunktionen ins Spiel. Wenn, dann krankt der Artikel eher daran, dass er zu wenig die fachliche Motivation hinter den mathematischen Modellen darstelt. --man (Diskussion) 13:13, 26. Aug. 2022 (CEST)

Es ist richtig, dass man Präferenzrelationen auch auf abstrakten Mengen betrachten kann. Aber in der Mikroökonomie und der mathematischen Wirtschaftstheorie benötigt man mehr mathematische Struktur. In diesem Artikel werden Präferenzrelationen in einem engen Kontext betrachtet, der bereits im ersten Satz geklärt wird: nämlich die Ordnung von Güterbündeln und damit – im n-Güter-Fall – von Vektoren in $[0,\infty )^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ Die Eigenschaften 'stetig', 'abgeschlossen' 'monoton', 'lokale Nichtsättigung', 'Konvexität', 'Homothetie' und 'zusammenhängend' nehmen sämtlich auf die algebraische, metrische oder topologische Struktur des $\mathbb {R} ^{n}$ Bezug und sind nur verständlich, wenn die Vektoren $\mathbf {x}$ die durch nichtnegative Zahlen gemessene Mengenkomponenten der Güter bezeichnen und somit $\mathbf {x} \in X\subseteq [0,\infty )^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ gilt. Dies sieht man auch bei den Anwendungen in der Mikroökonomie und der allgemeinen Gleichgewichtstheorie (siehe z. B. Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodell, hier benötigt man dann als weitere topologische Konzepte von $\mathbf {x} \in X\subset \mathbb {R} ^{n}$: 'kompakt', 'zusammenhängend', 'innerer Punkt').

Dass die Präferenzen nur ordinal messen und auch eine Nutzenfunktion in der Haushaltstheorie nur ordinal interpretiert wird, ist dadurch völlig unberührt. Auch wenn bei strenger Monotonie z. B. immer $(5,2){\text{[Eier, Äpfel]}}\succ (4,2){\text{[Eier, Äpfel]}}$ gilt, hat das nichts mit einer Abstandinterpretation von "5 - 4" zu tun, sondern verwendet nur die Ordnung "5 > 4". Wegen $(5,2)\geq (4,2)$ und $(5,2)\neq (4,2)$ folgt bei strenger Monotonie die Präferenz $(5,2)\succ (4,2)$.

Auch bevor ich es explizit aufgeschrieben hatte, wurde implizit im Text erklärt, dass die i-te Komponente $x_{i}$ eines Vektors $\mathbf {x}$ die Menge (!) des i-ten Gutes bezeichnet. Was kann das anderes als $x_{i}\in [0,\infty )$ sein?

Man könnte eventuell den Artikel dadurch verbessern, dass man klarstellt, welche Eigenschaften und Ergebnisse für abstrakte Mengen von Alternativen – ohne weitere mathematische Struktur – formuliert werden können, und welche Eigenschaften nur formuliert werden können, wenn Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ betrachtet werden bzw. Mengen, denen eine analoge (isomorphe) mathematische Struktur auferlegt wird. Wenn man die Interpretation als Güterbündel aufgibt und die $\mathbf {x} \in X$ zunächst als abstrakte Alternativen sieht, dann ist die erste unverständliche Stelle im Artikel die Einführung der Stetigkeit (abgeschlossen!). Dann geht es weiter mit der schwachen Monotononie: Was soll die Relation $\mathbf {x} _{a}\geq \mathbf {x} _{b}$ bedeuten, wenn $\mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b}$ nicht Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ sind? Und so geht es dann weiter. --Sigma^2 (Diskussion) 17:54, 26. Aug. 2022 (CEST)

Na ja, stimmt schon, dass es hier konkret um das wirtschaftsmathematische Konzept der Präferenzrelationen und nicht allgemein Präferenzen geht, aber die bilden natürlich den Hintergrund für das Modell. Es ist nicht nur richtig, dass man sie zunächst auf einer abstrakten Menge einführen kann, sondern man tut es auch für gewöhnlich zuerst, so wie der Artikel hier vor deiner Änderung. Wir richten uns hier bitte nach WP:BEL, also maßgeblichen Arbeiten und Standardwerken.

Jehle/Reny, denen dieser Artikel folgt, interpretieren die Alternativen übrigens nicht als Bündel abzählbarer Güter. Das ist auch nachvollziehbar: Schließlich geht es auch um Geschmackspräferenzen, Werte und beliebige andere Alternativen, denen man nicht einmal eine Zahl zuordnen kann ("Krieg oder Frieden", "Sein oder Nichtsein", ...). Wenn vorher irgendwo etwas davon stand, dass die Elemente des Güterbündels zählbaren "Mengen" von irgendetwas waren, war das wahrscheinlich schon zu eng gefasst gewesen. Woraus ergab sich das genau? Das sollte man dann an der Stelle besser streichen.

Natürlich kann man gleich Präferenzrelationen auf RxR definieren und sagen, man bedient sich zunächst nur bestimmter Eigenschaften reeller Zahlen, nämlich ihrer Ordnung, bzw. bedient sich einer bestimmten Interpretation, aber dann kann man auch gleich eine abstraktere Menge nehmen und erst später einschränken. So wie es eben Jehle/Reny vor der Betrachtung der Stetigkeit tun, denen dieser Artikel folgt. Ja, genau die Klarstellung, die du nennst, sollte man dementsprechend vor der Stetigkeit bringen, aber nicht vorher. --man (Diskussion) 19:03, 26. Aug. 2022 (CEST)

Die Behauptungen zu Jehle/Reny (Geoffrey A. Jehle, Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Auflage. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7. ) sind nicht nachvollziehbar.

Auf S. 3 wird $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ als "consumption bundle" eingeführt, "containing different quantities of each ot the $n$ commodities". Dann auf S. 4:

"A consumption bundle $\mathbf {x} \in X$ is represented by a point $\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{n}$. Und dann noch einmal an exponierter Stelle in Part I, Chapter 1, Assumption 1.1, S. 4:

"The mimimal requirements on the consumption set are

1. $X\subseteq \mathbb {R} _{+}^{n}$,
2. $X$ is closed,
3. [...]"

Eine Seite später im Abschnitt '1.2.1 Preference Relations' heißt es

"Formally, we represent consumer's preferences by a binary relation $\succsim$ on the consumption set".

Bereits in Assumption 1.1 Nr. 2 wird auf die topologische Struktur des $\mathbb {R} ^{n}$ Bezug genommen, dann in Axiom 3 (S. 8) und den dann folgenden Axiomen. --Sigma^2 (Diskussion) 12:22, 27. Aug. 2022 (CEST)

Du hast Recht. Da hätte ich mich nicht von den Passus „… as few meaningful and distinct assumptions as possible are set forth…“ und „From now on we explicitly set X = Rn+.“ in Kapitel 1.2.1 zu der Annahme verleiten lassen dürfen, dass die Autoren X davor abstrakter verstehen, sondern auch in das Kapitel davor schauen müssen. Danke, dass du das getan hast.

Damit ist dieser Artikel leider spezieller als nötig und beschränkt sich vor allem auf die Haushaltstheorie, aber gut, so sieht nun mal die Darstellung aus, der er folgt. Insofern auch danke, dass du den Artikel in der Hinsicht besser gemacht hast.

Die Verallgemeinerung bleibt ein m. E. ein offener Punkt. Vielleicht später mal.

--man (Diskussion) 14:30, 28. Aug. 2022 (CEST)

Wir sind uns einig, der Artikel könnte verbessert werden, weil der Anwendungsbereich von Präferenzrelationen weiter ist als die Haushalts- und Gleichgewichtstheorie in der üblichen Lehrbuchform. Man könnte vielleicht zwei Hauptteile bilden, Präfenzrelationen auf allgemeinen Alternativenmengen und Präfenzrelationen auf Teilmengen des $\mathbb {R} _{+}^{n}$.--Sigma^2 (Diskussion) 17:27, 28. Aug. 2022 (CEST)