Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren kann zum Lösen von Gleichungssystemen genutzt werden. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen so umgestellt, dass ihre linken Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten, die auf den rechten Seiten nicht vorhanden ist. Anschließend werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt, damit die neu entstehende Gleichung von einer Variablen weniger abhängt.

Beispiel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&x+y&=&3\\&(2)&x\cdot y&=&2\end{aligned}}}

Umstellen

Die Gleichungen stellt man nach einer Variablen um, hier nach $x$. So erhält man folgende Gleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & (1') & x & = & 3 - y\\ & (2') & x & = & \frac{2}{y} \end{align}}

Gleichsetzen

Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese gleich und erhält eine Gleichung, die nur noch die Unbekannte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} enthält:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 3 - y & = \frac{2}{y} \end{align}}

Lösen der entstandenen Gleichung

Bestimmen der y-Werte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 3 - y & = \frac{2}{y} &| & \cdot y\\ y (3 - y) & = 2 &| & \text{ Klammer aufl}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ 3y - y^2 & = 2 &| & - 3y\\ -y^2 & = 2 - 3y &| & + y^2\\ 0 & = y^2 - 3y + 2 &| & \text{ quadratische Gleichung in der Normalform} \rightarrow \text{L}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ y_1 & = 1 & &\\ y_2 & = 2 & & \end{align}}

Man erhält hier zwei Lösungen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} , was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x\,|\,y)} haben kann.

Bestimmen der x-Werte

Die Lösungen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige $x$:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} y_1\colon\quad & x_1 & = & 3 - y_1\\ & x_1 & = & 3 - 1\\ & x_1 & = & 2\\ y_2\colon\quad & x_2 & = & 3 - y_2\\ & x_2 & = & 3 - 2\\ & x_2 & = & 1\\ \end{align}}

Zusammenfassung

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x\,|\,y)} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{L} = \{(2\,|\,1), (1\,|\,2)\}}

Siehe auch

• Einsetzungsverfahren
• Additionsverfahren

Weblinks

• Das Gleichsetzungsverfahren (Memento vom 25. März 2010 im Internet Archive) im Online-Mathematikbuch.