Additionsverfahren (Mathematik)

Veranschaulichung des Additionsverfahrens: Aus ${\color {Blue}4x}+1={\color {Orange}3y}$ und ${\color {Orange}2y}={\color {Blue}2x}+2$ folgt das Gleichungssystem ${\color {Blue}4x}+1+{\color {Orange}2y}={\color {Orange}3y}+{\color {Blue}2x}+2$. Wenn nämlich beide Waagen im Vorfeld im Gleichgewicht sind, so ist dies die Waage auch, wenn man die jeweiligen Seiten zusammenlegt.

Das Additionsverfahren ist ein Verfahren, das zur Lösung von Gleichungssystemen genutzt werden kann. Der wahrscheinlich bekannteste Lösungsansatz zur Lösung von Gleichungssystemen, das Gaußsche Eliminationsverfahren, bedient sich des Additionsverfahrens, es ist aber auch allgemein bei der Lösung von Gleichungssystemen von Bedeutung.

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder mehrere Variablen (Unbekannte) in den Gleichungen eliminiert werden.

Rechtfertigung (Anschaulich)

Als Beispiel soll folgendes lineare Gleichungssystem gelöst werden:

${\begin{matrix}(1):\quad &5x&+&3y&=&5\\(2):\quad &2x&-&3y&=&2\end{matrix}}$

Man kann sich beide Gleichungen als ausgeglichene Waagen vorstellen. Waage 1 hat in der linken Schale $5x+3y$ und in der rechten $5$ liegen. Waage 2 hat in der linken Schale $2x-3y$ und in der rechten $2$ liegen.

Legt man die Inhalte der linken Schalen zusammen, müssen diese also so viel wiegen wie die rechten Schalen zusammen. Als Formel erhält man:

${\begin{matrix}(1)+(2):\quad &(5x+3y)&+&(2x-3y)&=&5+2\end{matrix}}$

Sortiert man die linke Seite der Gleichung nach den Unbekannten, hebt sich $y$ weg und man erhält eine Lösung für $x$

${\begin{matrix}5x+2x&+&3y-3y&=&7\\7x&+&0&=&7&|:7\\x&&&=&1\end{matrix}}$

Auch das vorherige Vervielfachen einer Gleichung ändert nichts am Gleichgewicht der jeweiligen Waage. Ein Mehrfachadditionsverfahren wie $(1)+3\cdot (2)$ oder ein Subtraktionsverfahren wie $(1)-(2)$ ist also lediglich eine abkürzende Schreibweise für eine Äquivalenzumformung mit anschließendem Additionsverfahren. Für $(1)+3\cdot (2)$ wird die zweite Gleichung zunächst verdreifacht und dann beide Gleichungen addiert (ein ausführliches Beispiel dazu steht unten). Für $(1)-(2)$ wird die zweite Gleichung zunächst auf beiden Seiten mit $(-1)$ multipliziert und dann beide Gleichungen addiert.

Beispiel

Mit Hilfe des Additionsverfahrens soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden:

${\begin{matrix}(1)&5x&+&3y&=&5\\(2)&3x&+&y&=&-1\end{matrix}}$

Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit $-3$.

$(2)\quad 3x+y=-1|\cdot (-3)$

Dadurch erhalten wir ein gleichwertiges Gleichungssystem, in dem der Term $-3y$ vorkommt.

${\begin{matrix}(1)&5x&+&3y&=&5\\(2')&-9x&-&3y&=&3\end{matrix}}$

Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in einer Gleichung zusammengefasst:

${\begin{matrix}(5x-9x)&+&(3y-3y)&=&5+3\\-4x&+&0y&=&8\\-4x&&&=&8\end{matrix}}$

Anschließend löst man nach der verbliebenen Variablen $x$ auf:

${\begin{matrix}-4x&=&8&|:(-4)\\x&=&-2&\end{matrix}}$

Damit ist der Wert der ersten Variable bekannt. Diesen Wert ($x=-2$) setzen wir in Gleichung (1) ein, um den Wert der zweiten Variable zu berechnen.

${\begin{matrix}5\cdot (-2)&+&3y&=&5\\-10&+&3y&=&5&|&+&10\\&&3y&=&15&|&:&3\\&&y&=&5\end{matrix}}$

Dadurch erhalten wir den Wert für die zweite Variable. Die Lösung des Gleichungssystems gibt man als Lösungsmenge an, also $\mathbb {L} =\{(-2|5)\}$.

Siehe auch

• Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren