Napoleon-Dreieck
Napoleon-Dreieck, benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte, ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie.
Definition
Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) eingetragen. Das Napoleon-Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte.
Werden die gleichseitigen Dreiecke nach außen gerichtet angelegt, so ergibt die Schwerpunktsverbindung das Äußere Napoleon-Dreieck, bei Anlage der gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhält man das Innere Napoleon-Dreieck.
Das Napoleon-Dreieck ist – unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks – stets gleichseitig.
Es gibt keine bekannten Hinweise, dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde. In der Zeitschrift „The Ladies’ Diary“ wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwähnt.[1]
Eigenschaften
Schwerpunkte von Teildreiecken
Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.
Flächeninhalte von Teildreiecken
Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren Napoleon-Dreiecks und des inneren Napoleon-Dreiecks, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks ABC.
Entstehung von Sechsecken
Setzt man die an einer Seite des Dreiecks AFB angefügte Figur ABECD auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks AFB an (Figur 1), so entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken (Figur 2). Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks PQRSTU, dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt V des Napoleon-Dreiecks GHK schneiden.
Parkettierung
Das unregelmäßige Sechseck (Figur 3) setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur AFBECD, wobei das innere Dreieck ABC insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren (Figur 4).[2]
(Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet.)
Figur 3: Unregelmäßiges Sechseck (Parkett-Detail)
Figur 4: Parkettierung mit Napoleon-Figuren
Verallgemeinerung
Ersetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ähnliche gleichschenklige Dreiecke, so spricht man von einem Kiepert-Dreieck.
Siehe auch
Literatur
- H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983
Weblinks
- Napoleon-Dreieck – eine Visualisierung mit dem dynamischen Geometrieprogramm GeoGebra
- Eric W. Weisstein: Inner Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Outer Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ Ulf von Rauchhaupt: Napoleon’s Theorem. In: FAZ.net. 15. August 2019, abgerufen am 24. April 2021.
- ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91
