Benutzer:Augiasstallputzer/Bezier

Definition

Eine Bézierkurve ist eine bestimmte Darstellungsform einer Polynomfunktion. Dabei wird die Tatsache genutzt, dass sich jedes Polynom als Linearkombination (Summe von Produkten) der Bernsteinpolynome, sogenanntes Bézierpolynom, darstellen lässt:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=s_{i}B_{i}^{n}(x)$

Gl. 1

hierbei ist

$B_{i}^{n}(x)={\binom {n}{i}}x^{1}(1-x)^{n-i}$

Gl. 2

das Bernsteinpolynom und n der Grad des Polynoms.

Nimmt man nun für die Koeffizienten n + 1 Punkte

$P_{0}=(x_{0};y_{)}\quad ...\quad P_{n}=(x_{n};y_{n})$

Gl. 3

und für das Bernsteinpolynom eine Funktion von einem unabhängigen Parameter, also

$B_{i}^{n}(t)$

so erhält man eine Kurve in Parameterform:

$P(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i}^{n}(t)\quad t\in [0;1]$

Gl. 4

also

$x(t)=\sum _{i=0}^{n}x_{i}B_{i}^{n}(t)\quad t\in [0;1]$

Gl. 4a

$y(t)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}B_{i}^{n}(t)\quad t\in [0;1]$

Gl. 4b

Weil das Bernsteinpolynom für i = 0 und t=0 , sowie i = n und t = 1 den Wert 1 erreicht, liegen die Punkte P₀ und P_n auf der Kurve (Randpunkte).