Benutzer:Norbert Dragon/Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung eines geladenen Spin-1/2-Teilchens, etwa eines Elektrons, das sich so langsam im elektromagnetischen Feld bewegt, dass die Feldenergie und die kinetische Energie klein gegen die Ruheenergie ist.

Man erhält die Pauli-Gleichung in diesem Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die allgemein das Verhalten von Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödinger-Gleichung für spinlose Teilchen ergibt sich ein Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Mit diesem Term kann man das Verhalten von Silberatomen (ein Valenzelektron) verstehen. Fliegen sie durch ein inhomogenes Magnetfeld, so werden sie je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufgespalten (siehe Stern-Gerlach-Experiment).

Die Pauli-Gleichung lautet:

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,.$

Hier bezeichnet

• $\Phi$ das skalare elektrische Potential
• $q$ die elektrische Ladung des Teilchens
• $A$ das Vektorpotential
• $\varphi ={\begin{pmatrix}\varphi _{\uparrow }(t,{\vec {x}})\\\varphi _{\downarrow }(t,{\vec {x}})\end{pmatrix}}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion
• ${\vec {\sigma }}$ die Pauli-Matrizen
• ${\vec {B}}={\text{rot}}\,{\vec {A}}$ das Magnetfeld.

Herleitung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\,{\vec {\pi }}\,\varphi _{2}\\{\vec {\sigma }}\,{\vec {\pi }}\,\varphi _{1}\end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)+m\,c^{2}\,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\-\varphi _{2}\end{array}}\right)$   mit   ${\vec {\pi }}={\vec {p}}-q\,{\vec {A}}$

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

$\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\displaystyle m\,c^{2}\,t}{\displaystyle \hbar }}}\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)$

die Zeitableitung der Zweierspinoren $\varphi$ und $\chi$ klein ist.

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\,{\vec {\pi }}\,\chi \\{\vec {\sigma }}\,{\vec {\pi }}\,\varphi \end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\-2\,m\,c^{2}\,\chi \end{array}}\right)$

In der letzten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenenergie $m\,c^{2}\,.$ Daher ist $\chi$ klein gegen $\varphi$ und ungefähr gleich

$\chi \approx {\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {\pi }}\,\varphi }{2\,m\,c}}\,.$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {({\vec {\sigma }}\,{\vec {\pi }})^{2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi \,.$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

$({\vec {\sigma }}\,{\vec {\pi }})^{2}=\sigma ^{i}\,\sigma ^{j}\pi ^{i}\pi ^{j}=(\delta ^{ij}+\mathrm {i} \varepsilon ^{ijk}\sigma ^{k})\pi ^{i}\pi ^{j}={\vec {\pi }}^{2}-q\,\hbar \,{\vec {\sigma }}\,{\vec {B}}\,.$

Der Spinor $\varphi$ genügt daher der Pauli-Gleichung

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {\pi }}^{2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi -{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\vec {\sigma }}\,{\vec {B}}\,\varphi \,.$

Quellen

• Schwabl: Quantenmechanik. Berlin, Springer Verlag. 1997
• Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Berlin, Springer Verlag. 1997
• Cohen-Tannoudji: Quantum Mechanics. Volume 2. New York, Wiley Verlag. 1977