Ähnlichkeitssätze

Die Ähnlichkeitssätze sind Sätze, die hinreichende Bedingungen stellen, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind. Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mit Hilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke lauten:

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und in dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (S:S:W-Satz)

Siehe auch: Kongruenzsätze

In den folgenden vier Abbildungen sind jeweils zwei ähnliche Dreiecke ABC und A’B’C’ – anschaulich gesprochen – "ineinander geschachtelt".

Dann ist jedes Seitenlängenpaar in ABC quotientengleich zu dem entsprechenden Seitenlängenpaar in A’B’C’.

• 

  W:W:W-Satz
  drei Winkel stimmen überein

• 

  S:S:S-Satz
  a : a' = (b + b') : b' = (c + c') : c'

• 

  S:W:S-Satz
  a : a' = (b + b') : b',
  die eingeschlossenen Winkel (γ, γ') stimmen überein

• 

  S:S:W-Satz
  a : a' = (b + b') : b',
  die den größeren Seiten gegenüberliegenden Winkel (β, β') stimmen überein

Literatur

• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2, S. 144