ω-reguläre Sprache

In der theoretischen Informatik bezeichnet die Klasse der ω-regulären Sprachen eine bestimmte Menge formaler Sprachen aus unendlichen Wörtern. Das Äquivalent im endlichen Fall ist die Klasse der regulären Sprachen.

Der griechische Buchstabe ω (omega) steht hier für die kleinste unendliche Ordinalzahl.

Der Schwerpunkt der Untersuchung ω-regulärer Sprachen liegt in der Automatentheorie. Es lässt sich beispielsweise zeigen, dass die ω-regulären Sprachen genau die Büchi-erkennbaren Sprachen sind.

Unendliche Wörter

Ein unendliches Wort ist eine abzählbar unendliche Sequenz von Zeichen aus einem endlichen Alphabet. Über dem Alphabet $\{0,1\}$ kann z. B. das unendliche Wort $0101111111\ldots$ gebildet werden. Mengen von unendlichen Wörtern werden ω-Sprachen genannt.

Formal bedeutet dies:

Sei $\Sigma$ ein Alphabet, dann ist die Menge $\Sigma ^{\omega }$ aller unendlichen Wörter über $\Sigma$ definiert als die Menge aller Abbildungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} .

Jede Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^{\omega}} heiße ω-Sprache.

Die ω-regulären Sprachen machen nun eine bestimmte Teilklasse der ω-Sprachen aus.

Definition

Die Definition der ω-regulären Sprachen erfolgt rekursiv. Sei dazu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U \subseteq \Sigma^+} eine reguläre Sprache, die nicht das leere Wort enthält. Dabei bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^+} die positive Hülle von $\Sigma$.

Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U^{\omega}} die Menge aller abzählbar unendlichen Konkatenationen von Wörtern aus $U$.

Es gilt nun:

• $U^{\omega }$ ist eine ω-reguläre Sprache.

Seien außerdem Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle L_{1};L_{2}} zwei ω-reguläre Sprachen, dann gilt weiter:

• $U\circ L_{1},L_{1}\cup L_{2}$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle L_{1}\cap L_{2}} sind ebenfalls ω-reguläre Sprachen.

• Außer den so konstruierten gibt es keine ω-regulären Sprachen.

Für die in der Definition verwendeten Verknüpfungen siehe auch: Formale Sprache#Operationen auf formalen Sprachen

Literatur

• Dominique Perrin, Jean-Éric Pin: Infinite Words Automata, Semigroups, Logic and Games (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 141). Elsevier – Academic Press, Amsterdam u. a. 2004, ISBN 0-12-532111-2.
• Ludwig Staiger: ω-Languages. In: Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (Hrsg.): Handbook of Formal Languages. Band 3: Beyond Words. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60649-1, S. 339–387.
• Wolfgang Thomas: Automata on Infinite Objects. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Handbook of Theoretical Computer Science. Band B: Formal Models and Semantics. Elsevier Science Publishers u. a., Amsterdam u. a. 1990, ISBN 0-444-88074-7, S. 133–192.