Kleenesche und positive Hülle

Die kleenesche Hülle (auch endlicher Abschluss, Kleene-*-Abschluss, Verkettungshülle oder Sternhülle genannt) eines Alphabets $\Sigma$ oder einer formalen Sprache $L$ ist die Menge aller Wörter, die durch beliebige Konkatenation (Verknüpfung) von Symbolen des Alphabets $\Sigma$ bzw. von Wörtern der Sprache $L$ gebildet werden können, wobei das leere Wort $\varepsilon$ inbegriffen ist. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker und Logiker Stephen Cole Kleene benannt. Demgegenüber ist die positive Hülle (auch Kleene-+-Abschluss genannt) eines Alphabets $\Sigma$ oder einer formalen Sprache $L$ die Menge aller Wörter, die aus den Symbolen von $\Sigma$ beziehungsweise aus Wörtern von $L$ gebildet werden können und die nur dann das leere Wort enthält, wenn die positive Hülle auf eine Sprache angewandt wird, die selbst das leere Wort als Element enthält.

Der Operator der kleeneschen Hülle ist der Kleene-Stern „$^{*}$“. So ist die Darstellung der kleeneschen Hülle eines Alphabets $\Sigma$ gleich $\Sigma ^{*}$ und einer Sprache $L$ gleich $L^{*}$. Demgegenüber ist der Operator der positiven Hülle das Pluszeichen „$^{+}$“, sodass die positive Hülle eines Alphabets $\Sigma$ mit $\Sigma ^{+}$ und einer Sprache $L$ mit $L^{+}$ dargestellt wird.

In Anlehnung an den Kleene-*-Operator über Sprachen wird der *-Operator bei regulären Ausdrücken ebenfalls Kleene-*-Operator genannt. Die Anzahl verschachtelter Kleene-*-Operatoren bestimmt die Sternhöhe eines regulären Ausdrucks.

Definition

Hüllenoperator für Alphabete

Die kleenesche Hülle $\Sigma ^{*}$ eines Alphabets $\Sigma$ ist eine Sprache, die alle Wörter über dem Alphabet enthält. Sie lässt sich mit Hilfe der strukturellen Induktion definieren. Im Induktionsanfang definiert man zunächst, dass das leere Wort $\varepsilon$ in der kleeneschen Hülle enthalten ist, und im Induktionsschritt wird definiert, dass für jedes Wort $w$, das Element der kleeneschen Hülle ist, auch die Konkatenationen $w\circ a$ für alle Symbole $a\in \Sigma$ Elemente der Kleeneschen Hülle sind:

• Induktionsanfang: $\varepsilon \in \Sigma ^{*}$
• Induktionsschritt: $(w\in \Sigma ^{*})\land (a\in \Sigma )\Rightarrow w\circ a\in \Sigma ^{*}$

Die positive Hülle $\Sigma ^{+}$ eines Alphabets $\Sigma$ ist definiert als die kleenesche Hülle dieses Alphabets ohne das leere Wort:

$\Sigma ^{+}:=\Sigma ^{*}\setminus \{\varepsilon \}$

Ausgehend von der kleeneschen Hülle lassen sich Teilmengen der Wörter mit fester Länge $n$ definieren.

$\Sigma ^{n}:=\{w\mid w\in \Sigma ^{*}\land \left|w\right|=n\}$

Alternativ kann $\Sigma ^{n}$ als das $n$-fache kartesische Produkt des Alphabets definiert werden, also

$\Sigma ^{n}=\prod _{i=1}^{n}\Sigma =\underbrace {\Sigma \times \dotsb \times \Sigma } _{n{\text{-mal}}}$ mit $\Sigma ^{0}=\{\varepsilon \}$.

Dann gilt:

$\Sigma ^{*}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{0}}\Sigma ^{i}$ und

$\Sigma ^{+}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\Sigma ^{i}$

Hüllenoperator für Sprachen

Die kleenesche Hülle $L^{*}$ einer Sprache $L$ ist die Vereinigung all ihrer Potenzsprachen (wiederholte Konkatenation der Sprachen):

$L^{*}:=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{0}}L^{i}$

Dabei gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^0=\{\varepsilon\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^{n+1}=L^n\circ L} .

Die positive Hülle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^+} einer Sprache Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} ist ähnlich definiert, sie ist die Vereinigung aller Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} größer gleich 1:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^+ := \bigcup_{i\in\mathbb N} L^i}

Beispiele

Alphabete

Die kleenesche Hülle des Alphabets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma=\{a\}} enthält das leere Wort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} , das Wort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon\circ a=a} und daher auch das Wort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\circ a =aa} und so weiter. Damit ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^*=\{\varepsilon,a,aa,\dotsc\}} .

Für das Alphabet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma=\{a,b\}} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^2=\{aa, ab, ba, bb\}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^3=\{aaa,aab,aba,abb,baa,bab,bba,bbb\}} und so weiter. Damit ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^*=\{\varepsilon,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,aab,aba,\dotsc\}} .

Sprachen

Die kleenesche Hülle der Sprache Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\{aa, bb\}} ist die Menge aller Wörter, die sich aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle aa} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle bb} zusammensetzen, sowie dem leeren Wort:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^* = \{\varepsilon, aa, bb, aaaa, aabb, bbbb, bbaa, bbaabb, aabbaa,\dotsc\}}

Die positive Hülle ist entsprechend:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^+ = \{aa, bb, aaaa, aabb, bbbb, bbaa, bbaabb, aabbaa,\dotsc\}}

Die kleenesche Hülle der leeren Sprache und der Sprache des leeren Wortes enthält nur das leere Wort:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\}^* = \{\varepsilon\}^* = \{\varepsilon\}}

Die positive Hülle der leeren Sprache ist leer, die der Sprache des leeren Wortes enthält nur das leere Wort:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\}^+ = \{\}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\varepsilon\}^+ = \{\varepsilon\}}

Merkmale

• Die kleenesche Hülle und die positive Hülle (falls letztere das leere Wort enthält) sind jeweils die Trägermenge des Monoids mit der Konkatenation von Wörtern als Operator und dem leeren Wort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} als neutralem Element. So bildet die kleenesche Hülle den freien Monoid über ein Alphabet. Die kleenesche Hülle sowie die positive Hülle sind damit ebenfalls abgeschlossen gegen die Konkatenation.

• Die kleenesche und die positive Hülle sind für alle Sprachen, die mindestens ein nicht-leeres Wort enthalten, abzählbar unendlich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L\notin \{\{\}, \{\varepsilon\}\} \Rightarrow |L^*| = |\mathbb{N}|}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L\notin \{\{\}, \{\varepsilon\}\} \Rightarrow |L^+| = |\mathbb{N}|}

• Wenn eine Sprache Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} das leere Wort enthält, sind die kleenesche und die positive Hülle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} identisch; die Umkehrung gilt ebenfalls:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon \in L \Leftrightarrow L^* = L^+}

Verallgemeinerungen

Die abzählbar unendlichen Folgen von Zeichen aus dem Alphabet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} werden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^\omega} bezeichnet, siehe: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} = Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \aleph_0} .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^\infty} bezeichnet die gesamte Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^\ast \cup \Sigma^\omega} der endlichen Sequenzen und unendlichen Folgen von Zeichen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma}  .

Literatur

• John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 3. korrigierte Auflage. Addison-Wesley, Bonn u. a. 1994, ISBN 3-89319-744-3.
• Katrin Erk, Lutz Priese: Theoretische Informatik. Eine umfassende Einführung. 2. erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42624-8, S. 27–29.