(45,12,3)-Blockplan
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Der (45,12,3)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: Eine leere 45×45-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 12 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 3 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 45, k = 12, λ = 3), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(45,12,3)-Blockplan wird Triplane der Ordnung 9 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 45, k = 12, λ = 3 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 45 Blöcken und 45 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 12 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 3 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 12 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 3 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren mindestens 3752 nichtisomorphe 2-(45,12,3) - Blockpläne[1]. Eine dieser Lösungen ist:
- Lösung 1 mit der Signatur 12·1, 6·2, 4·3, 12·4, 6·11, 1·12, 4·15. Sie enthält 1140 Ovale der Ordnung 4.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 4 5 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 4 5 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 5 30 31 32 33 34 35 36 37 1 2 3 4 38 39 40 41 42 43 44 45 1 7 8 9 14 15 22 23 30 31 38 39 1 6 8 9 16 17 24 25 32 33 40 41 1 6 7 9 18 19 26 27 34 35 42 43 1 6 7 8 20 21 28 29 36 37 44 45 1 11 12 13 14 15 24 25 34 35 44 45 1 10 12 13 16 17 22 23 36 37 42 43 1 10 11 13 18 19 28 29 30 31 40 41 1 10 11 12 20 21 26 27 32 33 38 39 2 6 10 15 16 18 22 28 32 34 38 44 2 6 10 14 17 19 23 29 33 35 39 45 2 7 11 14 18 20 23 24 32 36 40 42 2 7 11 15 19 21 22 25 33 37 41 43 2 8 12 14 16 20 26 28 30 35 41 43 2 8 12 15 17 21 27 29 31 34 40 42 2 9 13 16 18 21 24 27 30 37 39 45 2 9 13 17 19 20 25 26 31 36 38 44 3 6 11 14 17 24 27 28 31 37 38 43 3 6 11 15 16 25 26 29 30 36 39 42 3 7 10 16 20 22 25 27 31 35 40 45 3 7 10 17 21 23 24 26 30 34 41 44 3 8 13 18 21 23 25 28 33 35 38 42 3 8 13 19 20 22 24 29 32 34 39 43 3 9 12 14 18 22 26 29 33 37 40 44 3 9 12 15 19 23 27 28 32 36 41 45 4 6 12 18 20 23 25 31 34 37 39 41 4 6 12 19 21 22 24 30 35 36 38 40 4 7 13 14 16 27 29 33 34 36 38 41 4 7 13 15 17 26 28 32 35 37 39 40 4 8 10 14 19 25 27 30 32 37 42 44 4 8 10 15 18 24 26 31 33 36 43 45 4 9 11 16 21 23 29 31 32 35 43 44 4 9 11 17 20 22 28 30 33 34 42 45 5 6 13 14 21 22 26 31 32 41 42 45 5 6 13 15 20 23 27 30 33 40 43 44 5 7 12 16 19 24 28 31 33 39 42 44 5 7 12 17 18 25 29 30 32 38 43 45 5 8 11 16 19 23 26 34 37 38 40 45 5 8 11 17 18 22 27 35 36 39 41 44 5 9 10 14 21 25 28 34 36 39 40 43 5 9 10 15 20 24 29 35 37 38 41 42
Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
. O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . O O O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . O O O . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O . . . . O . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . O . . . . O O . O . . . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . O . . . . O O O . . . . . . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O O . . . . . . . . O O . . . . . . . . O O . . . . . . . . O O O . . . . . . . . O . O O . . O O . . . . O O . . . . . . . . . . . . O O . . . . O O . . O . . . . . . . . O O . O . . . . O O . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . O O . . . . O . . . . . . . . O O O . . . . . . . O O . . . . O O . . . . O O . . . . O O . . . . . . . O . . . O . . . O . . . . O O . O . . . O . . . . . O . . . O . O . . . O . . . . . O . . O . . . O . . . O . . . O . . O . O . . . O . . . . . O . . . O . O . . . O . . . . . O . O . . . . O . . . O . . O . . . O . O . . O O . . . . . . . O . . . O . . . O . O . . . . O . . . . O . . . O . . . O . . . O . O O . . O . . . . . . . O . . . O . . . O . O . . . O . . . . . O . . . O . O . O . . . O . . . . . O . O . O . . . . O . . . . . O . O . . . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . O . . . . . O . O . O . . O . . . . . O . O . . . . O . . . . . . O . . . O . . O . O . . O . . O . . O . . O . . . . . . O . O . . . . . O . O . . . . . . O . . . O . . . O . O O . . . . O O . . . . O . . . . O . O . . . . . O . . . O . . O . . . . O . . O . . O . . . . . . O . . O O . . O . . . . . O O . . . . O . . . . O . . O . . . . O . . . O O . . . . . . . . O O . . O O . . . . . O . . O . . O . . . . . O . . . O . . O . . . . . O . . . O . O . . O . O . . . O . . . O . . . . O . . . . O . . O . . . O . . O . . . . . . O . . . O . O O . O . . . O . . . O . . . . . . O . . O . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . O . O . O . . O . . . . O . O . . O . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O . . . . . O O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O . . . O . . . . O . . . . . O . . O . O . . . O . . . O . . . O . . O . . . O . . . O . . O . . . O . . . O . . . . . O . . O . . O . . . O . . . O . . . O O . . . O . . . O . . . . O . . . O . . . O . O . . . . . O . . . . . O . O . . O . O . . . . . O . . O . . O . O . O . . . . . . . O . O . . . . . O . . . . . . O . O O . O . . . . . O . . . . O O . O . O . . . . . . . . O . . O . . . . . O O . O . . . . . . . . . . O . O . . . O O . O . O . . O . . . . . . . O . . O . . . . . O . O . O . . . . . . . . O . O . . . O . . O . O . O O . . . . . . . . O . . . O . O . . . O . . . . O . . . . . O . O . . O . O . . . . O . . . . O . O . . . . O . . . O . O . . . . O . . O . . . . . O . O . . . . O . O . . O . . . . . . O . O . . . O . . . . O . O . . . . O . . . . O . O . . . . . O . O O . . O . . . . . . . O O . . . . O . . . . O . O . . . . . O . . O . O . . . . . O . O . . O O . . . . . . . O . . O . . . . O O . . . . . . O O . . . . . . O O . . . O . . . . O O . . . . . . . . O O . . O . . . . O O . . . . . . O . O . . . . O . . O . . . O . . O . . O . . . . . . O . . O O . . . . . O . O . . . . O . . . O . . O . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . O . O . . . . . O . O . . . . O . . . . O O . . . . . . O . . . O O . O . . . . . O . . . . O . O . . . . O . . O . . O . . . . O . . O . . . O . . O . . . . . . . O . . O O . O . . . . O . . . . O . . O . . O . . . . . O O . . . O . . . . O . . . . . . . O O . . O . O . . O . . . . . O . . . O O . . . O . . . . . . O . . . O . . O . . . . . O . O . . O O . . O . . . . . . O . . . O O . . . . O . . . . O . . . O . . . . O . . . . . O . O O . . O O . . .
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 7 16
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
