Alexandrov-Raum

Alexandrov-Räume sind metrische Räume, die in der Differentialgeometrie und in der Topologie von wesentlicher Bedeutung sind. Ein Alexandrov-Raum ist ein vollständiger Längenraum mit unterer Krümmungschranke und endlicher Hausdorff-Dimension. Sie sind nach Alexander Danilowitsch Alexandrow benannt.

Definition

Ein metrischer Raum $X$ heißt Längenraum, falls der Abstand je zweier Punkte in $X$ gegeben ist durch das Infimum der Längen aller (stetigen) Kurven, die diese Punkte miteinander verbinden. Eine kürzeste Geodätische ${\overline {xy}}$ zwischen zwei Punkten $x,y\in X$ ist eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve von $x$ nach $y$, deren Länge mit dem Abstand $|xy|$ dieser Punkte übereinstimmt.

Ein Dreieck $x,y,z$ in einem Längenraum $X$ wird bestimmt durch drei Punkte $x,y,z\in X$ und drei kürzeste Geodätische ${\overline {xy}},{\overline {xz}},{\overline {yz}}$. Bezeichnet für eine gegebene reelle Zahl $\kappa$ das Symbol $S_{\kappa }$ die zweidimensionale Fläche konstanter Krümmung $\kappa$, so versteht man unter einem $(\kappa -)$ Vergleichsdreieck für ein Dreieck $xyz\in X$ ein Dreieck ${\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}$ in $S_{\kappa }$, dessen Seitenlängen mit den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks $xyz$ übereinstimmen. Vergleichsdreiecke existieren und sind für $\kappa \leq 0$ oder für $\kappa >0$ und

$|xy|+|yz|+|xz|<{\frac {2\pi }{\sqrt {\kappa }}}$

bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Ein Längenraum $X$ heißt Raum mit unterer Krümmungsschranke $\kappa$, oder kurz Raum mit $K\geq \kappa$, falls jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U_{x}$ besitzt, so dass für je vier Punkte $a,b,c,d\in U_{x}$ die Vergleichswinkel von $a$ in den entsprechenden Vergleichsdreiecken in $S_{\kappa }$ die folgende Ungleichung erfüllen:

${\tilde {\measuredangle }}bac+{\tilde {\measuredangle }}cad+{\tilde {\measuredangle }}dab\leq 2\pi$

Ist der Längenraum $X$ eine eindimensionale Mannigfaltigkeit und $\kappa >0$, so verlangt man aus Konsistenzgründen zusätzlich, dass in diesem Fall der Durchmesser den Wert ${\frac {\pi }{\sqrt {\kappa }}}$ nicht überschreitet. Es gilt dann in Verallgemeinerung der Sätze von Toponogov und Bonnet-Myers:

Der Durchmesser eines vollständigen Raumes mit $K\geq \kappa >0$ beträgt höchstens ${\frac {\pi }{\sqrt {\kappa }}}$.

Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um, erhält man die Definition eines Raumes mit oberer Krümmungsschranke $K\leq \kappa$. Ist $X$ ein Raum mit $K\leq \kappa$ und vollständig, so gilt die obige Ungleichung global, also für beliebige (verschiedene) Punkte $a,b,c,d\in X$.

Für lokalkompakte Räume stimmt die oben gegebene Definition von $K\leq \kappa$ mit der üblichen Abstandsvergleichsdefinition überein, nach der ein lokalkompakter Längenraum $X$ ein Raum mit unterer Krümmungsschranke $\kappa$ ist, falls jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U_{x}$ besitzt, so dass für jedes Dreieck $xyz$ in $U_{x}$ und je zwei Punkte $y_{0}\in {\overline {xy}},z_{0}\in {\overline {xz}}$ die Abstandsgleichung

$|y_{0}z_{0}|\leq |{\tilde {y_{0}}}{\tilde {z_{0}}}|$

erfüllt ist, wobei ${\tilde {y_{0}}}$ und ${\tilde {z_{0}}}$ den Punkten $y_{0}$ und $z_{0}$ entsprechende Punkte im zum Dreieck $xyz$ korrespondierenden $\kappa$-Vergleichsdreieck bezeichnen.

Erste Beispiele von Räumen mit $K\leq \kappa$ sind gegeben durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung $Sec\leq \kappa$ sowie Quotienten von Räumen mit $K\leq \kappa$ im allgemeinen metrische und/oder topologische Singularitäten auf (?).

Oftmals bezeichnet man Räume mit einer unteren Krümmungsschranke $K\leq \kappa$ synonym auch als Alexandrov-Räume.

(Definition zitiert aus , s. auch Weblink)

Besonderes

Jeder Punkt eines Alexandrov-Raumes besitzt eine offene Umgebung, welche zum Tangentialkegel dieses Punktes homöomorph ist. Ferner gilt: Ein Alexandrov-Raum besitzt eine Stratifikation in topologische Mannigfaltigkeiten. Die Strata der Dimension $l$ bestehen aus den Punkten, deren Tangentialkegel homöomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{k}$ einer Dimension $k\leq l$.

Literatur

• Jonathan Alze: Hyperbolische Dehnchirurgie. Diplomarbeit 2002 (http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~jonathan/diplom/hdc_hyperref.pdf (Memento vom 10. Juni 2007 im Internet Archive))
• Martin Weilandt: Isospectral Alexandrov Spaces. (online)

Weblinks

• http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-0900.pdf.