Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus

Areasinus hyperbolicus (abgekürzt $\operatorname {arsinh}$ oder $\operatorname {asinh}$) und Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt $\operatorname {arcosh}$ oder $\operatorname {acosh}$) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Definitionen

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus hyperbolicus:

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$ mit $\,x\in \mathbb {R}$

Areakosinus hyperbolicus:

$\operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ für $x\geq 1$

Hier steht $\ln$ für den natürlichen Logarithmus.

Umrechnung

Zusammen mit der Signumfunktion $\operatorname {sgn}$ gilt der Zusammenhang:

$\operatorname {arsinh} (x)=\operatorname {sgn} (x)\cdot \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

Für $x\geq 1$ gilt:

$\operatorname {arcosh} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

Eigenschaften

Graph der Funktion arsinh(x)

Graph der Funktion arcosh(x)

	Areasinus hyperbolicus	Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$1\leq x<+\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<+\infty$	$0\leq f(x)<+\infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung, ungerade Funktion	keine
Asymptote	$f(x)\to \pm \ln(2|x|)$ für $x\to \pm \infty$	$f(x)\to \ln(2x)$ für $x\to +\infty$
Nullstellen	$x=0$	$x=1$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=0$	keine

Reihenentwicklungen

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsinh} (x)&=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!(-x^{2})^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {-{\frac {1}{2}}}{k}}x^{2k+1}}{2k+1}}&{}\\&=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &{\text{ für }}|x|<1\\\operatorname {arsinh} (x)&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \left[\ln(2|x|)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^{2})^{k}}}\right]&{\text{ für }}|x|>1\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2x)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}}x^{-2k}&{}\end{alignedat}}$

Ableitungen

Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ für x > 1

Stammfunktionen

Die Stammfunktionen des Areasinus hyperbolicus und des Areakosinus hyperbolicus lauten:

$\int \operatorname {arsinh} (x)\ \mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arcosh} (x)\ \mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

Andere Identitäten

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)=2\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)=4\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)=2\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)=4\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\end{aligned}}$

$\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

Numerische Berechnung

Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion $\ln x$ zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

• Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
• Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.

Zunächst einmal soll der Operand $x$ positiv gemacht werden:

$\operatorname {arsinh} x=-\operatorname {arsinh} (-x)$ für $x<0$ angewandt.

Für $x\geq 0$ können dann folgende Fälle unterschieden werden:

Fall 1: $x$ ist eine große, positive Zahl mit $x\geq {10}^{\frac {k}{2}}$:

$\operatorname {arsinh} x=\ln {2}+\ln {x},$

wobei $k$ die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.

Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:

${10}^{k}$ ist die kleinste positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb ${10}^{k}+{1}\approx {10}^{k}$ gilt. Jetzt soll dasjenige $x$ berechnet werden, ab dem gilt: $x^{2}+1\approx {x}^{2}$. Dies gilt für ${x}^{2}\geq {10}^{k}$, woraus ${x}\geq {10}^{\frac {k}{2}}$ folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus $x^{2}+1$ durch $x^{2}$ ersetzen:

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$ ≈ $\ln(x+{\sqrt {x^{2}}})=\ln({2x})=\ln {2}+\ln {x}$

Fall 2: $x$ ist nahe an 0, z. B. für $x<0{,}125$:

Verwendung der Taylorreihe:

$\operatorname {arsinh} x=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\dotsb$

Fall 3: Alle übrigen $x$:

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus über die Formel

$\operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den großen Operanden; die Lösung ist dieselbe wie beim Areasinus:

Fall 1: $x$ ist eine große positive Zahl mit $x\geq {10}^{\frac {k}{2}}$:

$\operatorname {arcosh} x=\ln {2}+\ln {x},$

wobei $k$ die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.

Fall 2: $x<1$:

Das Ergebnis ist nicht definiert.

Fall 3: Alle übrigen $x$, d. h. für $1\leq x<{10}^{\frac {k}{2}}$:

$\operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Sine. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Cosine. In: MathWorld (englisch).
• Christoph Bock: Elemente der Analysis. (PDF; 2,2 MB) Abschnitt 7.10.

Einzelnachweise

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus