Kreis- und Hyperbelfunktionen

Sowohl die Winkelfunktionen (z. B. Sinus, Kosinus) als auch die Hyperbelfunktionen (Sinus hyperbolicus, Kosinus hyperbolicus, Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus) sind mathematische Funktionen, die sowohl für alle reellen als auch komplexen Zahlen definiert sind.

In diesem Artikel werden nur die Sinus- und Kosinus-Funktionen detailliert behandelt. Die Tangens-, Kotangens-, Sekans- und Kosekans-Funktionen sowie ihre analogen Hyperbelfunktionen ähneln diesen in ihren Definitionen und Eigenschaften.

Definitionen

Beide Gruppen von Funktionen lassen sich unter anderem durch die Exponentialfunktion oder ihre Taylorreihenentwicklung definieren. Die ähnlichen Namen (z. B. Sinus, Sinus hyperbolicus) lassen sich durch die ähnlichen Definitionen und Eigenschaften verstehen.

Oft unterscheiden sich die Kreis- und Hyperbelfunktion in Definition oder Eigenschaften nur darin, dass die Funktionsvariable der Kreisfunktion durch das Produkt aus imaginärer Einheit mit der Funktionsvariablen ersetzt wird, oder das positive und negative Vorzeichen vertauscht sind.

Definition über die Exponentialfunktion

Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen. Sie werden daher häufig benutzt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin ( z ) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sinh ( z ) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos ( z ) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cosh ( z ) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}}

Herleitung

Aus der Eulerschen Formel lässt sich die Schreibweise des $\sin(z)$ und des $\cos(z)$ als Summe von Exponentialfunktionen herleiten. Die Eulersche Formel lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{i\varphi}=\cos \varphi + i\sin \varphi} .

Außerdem folgt daraus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-i\varphi}=\cos \varphi - i\sin \varphi} .

Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, kann das Minuszeichen weggelassen werden. Der Sinus ist ungerade und man darf daher das Minuszeichen vor die Funktion ziehen.

Wenn man nun die zweite Gleichung von der Ersten subtrahiert und nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin \varphi} auflöst, dann erhält man die oben genannte Gleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin ( z )} . Die Formel für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos ( z )} erhält man analog. Die beiden Gleichungen müssen dann aber addiert werden.

Definition über Reihenentwicklung

Die Taylorreihen mit dem Entwicklungspunkt z=0 unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes. Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert; bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \sin ( z ) &= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \sinh ( z ) &= z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos ( z ) &= 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\\ \cosh ( z ) &= 1 + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!} \end{align}}

Hier steht der Ausdruck n! für die Fakultät von n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n } speziell auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0! = 1 }

Eigenschaften der Funktionen

Kreis und Hyperbel

Der Name Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Kreisfunktionen einen Kreis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+y^2=1} und die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} beschreiben. u sei die eingeschlossene Fläche zwischen x-Achse, dem Graphen y(x) und der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph. Für die Kreisfunktionen ist u ebenfalls gleich dem halben Winkel im Bogenmaß zwischen der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph und der x-Achse. Beispielsweise entspricht einem Viertelkreis, also einer Fläche von u=π/4, ein Winkel von π/2. Man erhält somit bei der Umkehrung der Winkelfunktion einen Bogen (Arcus), daher: Arkussinus und Arkuskosinus. Für die Hyperbelfunktionen gilt nur die Definition mit der Fläche. Daher ergibt sich bei der Umkehrfunktion eine Fläche: Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus.^[1]

Kreisfunktionen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin^2 (u) + \cos^2 (u) = 1 \quad \text{mit} \quad y=\sin (u) \quad \text{und} \quad x=\cos (u) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow \quad \text{Kreisgleichung} \quad y = \pm \sqrt{1 - x^2} }

Hyperbelfunktionen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cosh^2 (u) - \sinh^2 (u) = 1 \quad \text{mit} \quad y=\sinh (u) \quad \text{und} \quad x=\cosh (u)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow \quad \text{Hyperbelgleichung} \quad y = \pm \sqrt{x^2-1} }

Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen

Für alle $z\in \mathbb {C}$ gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rcr} \sin ( i \cdot z ) & = & i \cdot \sinh ( z ) \\ \sinh ( i \cdot z ) & = & i \cdot \sin ( z ) \\ \cos ( i \cdot z ) & = & \cosh ( z ) \\ \cosh ( i \cdot z ) & = & \cos ( z ) \end{array} }

beziehungsweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rcr} \sin ( z ) & = & - i \cdot \sinh ( i \cdot z ) \\ \sinh ( z ) & = & - i \cdot \sin ( i \cdot z ) \\ \cos ( z ) & = & \cosh ( i \cdot z ) \\ \cosh ( z ) & = & \cos ( i \cdot z ) \end{array} }

Eine andere Möglichkeit, die Kreis- und Hyperbelfunktionen ineinander umzuwandeln, bietet die Gudermannfunktion. Der Vorteil ist dabei, dass der Umweg über die Komplexen Zahlen vermieden werden kann.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sinh(x) = \tan(\operatorname{gd}(x))\ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cosh(x) = \sec(\operatorname{gd}(x))\ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tanh(x) = \sin(\operatorname{gd}(x))\ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{sech}(x) = \cos(\operatorname{gd}(x))\ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{csch}(x) = \cot(\operatorname{gd}(x))\ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \coth(x) = \csc(\operatorname{gd}(x))\ }

Ableitungen

Auch die Ableitungen der Kreis- und Hyperbelfunktionen sind einander ähnlich.

{\begin{matrix}\sin '(z)&=&\cos(z)\\\sinh '(z)&=&\cosh(z)\\\cos '(z)&=&-\sin(z)\\\cosh '(z)&=&\sinh(z)\end{matrix}}

Additionstheoreme (Goniometrische Beziehungen)

Für die Kreis- wie auch für die Hyperbelfunktionen gelten die folgenden Additionstheoreme:^[2]

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{matrix}\sin(x\pm y)&=&\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\\\cos(x\pm y)&=&\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\\\tan(x\pm y)&=&\displaystyle {\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}\\\\\end{matrix}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sinh(x \pm y) = \sinh(x)\cosh(y) \pm \cosh(x)\sinh(y)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cosh(x \pm y) = \cosh(x)\cosh(y) \pm \sinh(x)\sinh(y)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tanh(x \pm y) = \frac{\tanh(x) \pm \tanh(y)}{1 \pm \tanh(x)\tanh(y)}}

\sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(x) - \sin(y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(x) + \cos(y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(x) - \cos(y) = -2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sinh(x) + \sinh(y) = 2\sinh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cosh \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sinh(x) - \sinh(y) = 2\cosh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sinh \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cosh(x) + \cosh(y) = 2\cosh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cosh \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cosh(x) - \cosh(y) = 2\sinh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sinh \left(\frac{x-y}{2} \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(x) \cdot \sin(y) = \frac{1}{2} \Big[\cos(x-y) - \cos(x+y)\Big] }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(x) \cdot \cos(y) = \frac{1}{2} \Big[\cos(x-y) + \cos(x+y)\Big] }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(x) \cdot \cos(y) = \frac{1}{2} \Big[\sin(x-y) + \sin(x+y)\Big] }

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sinh(x)\cdot \sinh(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\cosh(x+y)-\cosh(x-y){\Big ]}}

\cosh(x)\cdot \cosh(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\cosh(x+y)+\cosh(x-y){\Big ]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sinh(x) \cdot \cosh(y) = \frac{1}{2} \Big[\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\Big]}

Für weitere Beziehungen siehe auch die Formelsammlung Trigonometrie.

Quellen

↑ dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 4. Auflage 1980. ISBN 3-423-03007-0. S. 185.
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, Kapitel 4.3 und 4.5

[1] dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 4. Auflage 1980. ISBN 3-423-03007-0. S. 185.

[2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, Kapitel 4.3 und 4.5

[1]

[2]

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Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Definition über die Exponentialfunktion

Herleitung

Definition über Reihenentwicklung

Eigenschaften der Funktionen

Kreis und Hyperbel

Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen

Ableitungen

Additionstheoreme (Goniometrische Beziehungen)

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