Artin-Gruppe

In der Mathematik ist eine Artin-Gruppe ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Diese besondere Klasse von Gruppe ist nach dem Mathematiker Emil Artin benannt.

Definition

Eine Artin-Gruppe ist eine Gruppe mit einer Präsentierung der Form

${\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{1},x_{2}\rangle ^{m_{1,2}}=\langle x_{2},x_{1}\rangle ^{m_{2,1}},\ldots ,\langle x_{n-1},x_{n}\rangle ^{m_{n-1,n}}=\langle x_{n},x_{n-1}\rangle ^{m_{n,n-1}}{\Big \rangle }$

mit

$m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}$.

Für $m<\infty$ bedeutet dabei $\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}$ das alternierende Produkt der Länge $m$ von $x_{i}$ und $x_{j}$, beginnend mit $x_{i}$. Also beispielsweise

$\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}$

oder

$\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}$.

$m_{ij}=\infty$ bedeutet, dass es zwischen $x_{i}$ und $x_{j}$ keine Relationen gibt.

Spezialfälle

Zopf-Gruppen

→ Hauptartikel: Zopfgruppe

Zopf-Gruppen erhält man als Spezialfall mit

$m_{i,i+1}=m_{i+1,i}=3\ \forall i$

und

$m_{i,j}=2\ \forall \mid i-j\mid >1$.

Rechtwinklige Artin-Gruppen

Rechtwinklige Artin-Gruppen sind Artin-Gruppen mit

$m_{i,j}\in \left\{2,\infty \right\}$

für alle $i,j$. Sie spielen eine wichtige Rolle in der 3-dimensionalen Topologie.