Artin-Mazursche Zeta-Funktion
In der Mathematik ist die nach Michael Artin and Barry Mazur benannte Artin-Mazursche Zeta-Funktion ein Hilfsmittel beim Studium iterierter Funktionen in dynamischen Systemen. Sie wird gelegentlich auch als topologische Zeta-Funktion bezeichnet.
Artin und Mazur haben diese Zeta-Funktion im Jahr 1965 eingeführt.[1] Diese Funktion wurde dann von Stephen Smale weiter untersucht und allgemein bekannt gemacht.[2]
Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion wird als formale Potenzreihe definiert:
Dabei bezeichnet die Menge der Fixpunkte der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -ten Iteration der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textrm{card}(\textrm{Fix} (f^n)} die Kardinalität dieser Menge von Fixpunkten. Dabei sind hier nur endliche Kardinalitäten zugelassen.
Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion ist eine topologische Invariante, das heißt, sie ist invariant unter topologischen Konjugationen. Damit verbindet sie lokale Eigenschaften der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} mit globalen Eigenschaften der von den diskreten Trajektorien (Orbits) erzeugten Mannigfaltigkeit.
Umfassende Konvergenzuntersuchungen wurden von William Parry und Mark Pollicott durchgeführt.[3]
Eine Weiterentwicklung der Artin-Mazursche Zeta-Funktion in der Theorie der dynamischen Systeme erfolgte durch David Ruelle, Viviane Baladi und andere zur Ruelleschen Zeta-Funktion und dynamischen Zeta-Funktion.
Weblinks
- John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 216). 2005 (zum Zusammenhang mit anderen Zeta-Funktionen).
- David Ruelle: Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators. 2002 (PDF; 233 kB).
- Predrag Cvitanović et al.: Chaos: Classical and Quantum. 2009. (u. a. Kapitel 15 zur Anwendung in der theoretischen Physik).
Einzelnachweise
- ↑ Michael Artin, Barry Mazur: On periodic points. In: Annals of Mathematics. 81, 1965, S. 82–99.
- ↑ Stephen Smale: Differential dynamical systems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 73, 1967, S. 747–817.
- ↑ William Parry, Mark Pollicott: Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. In: Astérisque. vol. 187-188, 1990, Société Mathématique de France, Paris.
