Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie $AG_{d}(n,q)$ in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan, zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung und nennt den Blockplan stark auflösbar.

Definitionen

• Sei ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$-Blockplan. Eine Auflösung von ${\mathcal {I}}$ ist eine Partition der Blockmenge ${\mathfrak {B}}$ von ${\mathcal {I}}$ in Scharen $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$, so dass es positive ganze Zahlen $\{\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}\}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in ${\mathfrak {p}}$ auf genau $\rho _{i}$ Blöcken von ${\mathfrak {B}}_{i}$ liegt. Die Zahlen $\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}$ heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich $\rho$, so spricht man von einer $\rho$-Auflösung.
• Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. $\rho$-auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine $\rho$-Auflösung besitzt.
• Ist ${\mathcal {I}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt $b+1=v+c$, dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
• Sind $B,C\in {\mathfrak {B}}_{i}$ zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse ${\mathfrak {B}}_{i}$, dann schreibt man auch $B\parallel C$ und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
• Für eine Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ setzt man $m_{i}=|{\mathfrak {B}}_{i}|,1\leq i\leq c$ für die Anzahl der Blöcke in der Schar ${\mathfrak {B}}_{i}$.

Eigenschaften

Sei ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$-Blockplan, der eine Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ mit den Parametern $\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}$ besitzt. Dann gilt

1. $m_{i}\cdot k=v\cdot \rho _{i},\quad (1\leq i\leq c),$
2. $\rho _{1}+\cdots +\rho _{c}=r,\quad m_{1}+\cdots +m_{c}=b,$
3. Besitzt ${\mathcal {I}}$ eine $\rho$-Auflösung, so ist k ein Teiler von $v\cdot \rho$ und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

• Ist ${\mathcal {I}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist $b+1\geq v+c$. Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge ${\mathfrak {B}}$ von ${\mathcal {I}}$ größtmöglichen Anzahl an Scharen.

Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen

• Der folgende Satz von Hughes und Piper charakterisiert die starken Auflösungen:

Sei ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$-Blockplan mit b Blöcken, der eine Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ besitzt. Dann gilt $b+1\geq v+c$ und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen $\mu _{I}$ („innere Schnittzahl“) und $\mu _{A}$ („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:

• Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau $\mu _{I}$ Schnittpunkte und
• je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau $\mu _{A}$ Schnittpunkte.

Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne

• Der Satz von Beker klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die Hadamard 3-Blockpläne.

Beispiele

• Jeder Blockplan ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ besitzt die triviale Auflösung $\{{\mathfrak {B}}\}$, d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl $r=b_{1}$ gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
• Ist $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ eine Auflösung von ${\mathcal {I}}$, dann erhält man wieder eine Auflösung von ${\mathcal {I}}$, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind $\{{\mathfrak {B}}_{1}\cup {\mathfrak {B}}_{2},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ und $\{{\mathfrak {B}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {B}}_{c-1},{\mathfrak {B}}_{c}\}$ wieder Auflösungen von ${\mathcal {I}}$.
• Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt $c=r=b_{1}$, die innere Schnittzahl ist dann $\mu _{I}=0$, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

• Speziell ist eine affine Geometrie $AG_{d}(n,q)$ mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann $m_{i}=b/r$, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls $d=n-1$, also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
• Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist $m_{i}=b/r$ für jede Parallelenschar gleich.

Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Literatur

Artikel zu Einzelfragen

• Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: On resolutions and Bose’s theorem. In: Geom. Dedicata. Band 5, 1976, S. 129–133, doi:10.1007/BF00148147. 
• Henry Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196 (Abstract [abgerufen am 2. Mai 2013]). 

Lehrbücher

• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich / New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240. 
• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1986, ISBN 0-521-33334-2. 
• D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973 (Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.).