Auslöschung (numerische Mathematik)

Unter Auslöschung (engl.

cancellation

) versteht man in der Numerik den Verlust an Genauigkeit bei der Subtraktion fast gleich großer Gleitkommazahlen.^[1]

Beispiele

Zahlenbeispiel

Wir subtrahieren die Zahlen $a=2{,}345678$ und $b=2{,}346789$ voneinander und erhalten als Ergebnis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b-a = 0{,}001111} .

Stammen nun $a$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} bereits aus vorherigen Berechnungen, so werden die niedrigwertigen Stellen durch Rundungsfehler beeinflusst sein. Stimmen nun aber die höherwertigen Stellen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} überein, so löschen sich die gültigen Stellen zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} aus, und die Differenz ergibt sich ausschließlich aus Rundungsfehlern.

Angenommen, bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} seien die ersten drei Ziffern korrekt, und alle niedrigwertigeren Ziffern durch Rundungsfehler verfälscht. Verkürzen wir die Zahlen auf ihre korrekten Ziffern, so ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2{,}34 - 2{,}34 = 0} ,

während sich im Ergebnis der ersten, vermeintlich genauen Berechnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b-a = 0{,}001111} keine einzige korrekte Ziffer mehr findet.

Angenommen, in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} seien die ersten vier Ziffern noch korrekt, so ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2{,}346 - 2{,}345 = 0{,}001} ,

wohingegen wir uns oben mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b - a = 0{,}001111} einen absoluten Fehler von $0{,}001111-0{,}001000=0{,}000111$ und damit einen relativen Fehler von ungefähr 10 % eingehandelt haben.

Beispiel: Algorithmus des Archimedes zur Kreiszahlberechnung

Datei:PiArchimedes.png

Berechnung von pi nach Archimedes

Archimedes von Syrakus bewies, dass sich der Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser genauso verhält, wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Er nannte dieses (heute als Kreiszahl bezeichnete) Verhältnis noch nicht π, gab aber eine Anleitung, wie man sich mit Hilfe von ein- und umschriebenen Vielecken dem Verhältnis bis zu einer beliebig hohen Genauigkeit nähern kann, vermutlich eines der ältesten numerischen Verfahren der Geschichte. Und er führte die Berechnung bis zum 96-Eck mit dem folgenden Resultat durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}1408450 \dots = 3 + \frac{10}{71} <\pi< 3 + \frac{10}{70} = 3{,}1428571 \dots}

Wie man dem Zahlenbeispiel entnehmen kann, hatte Archimedes keine Chance, beim 96-Eck die Auslöschung überhaupt nur wahrzunehmen.

In heutiger Sprache beginnt man mit direkt berechenbaren Seitenlängen $s_{n}=AB$ von in einem Einheitskreis (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle MA = MB = MC = 1} ) einbeschriebenen Vielecken, z. B. dem Zweieck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_2=2} , dem Dreieck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_3 = \sqrt{3}} , dem Viereck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_4 = \sqrt{2}} oder dem Sechseck $s_{6}=1$ .

Dann ist für Vielecke mit doppelter Eckenzahl deren Seitenlänge $s_{2n}=AC$ mit der Hilfsstrecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_n = MS} und zweimaliger Anwendung des Satzes von Pythagoras (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AM^2 = MS^2 + AS^2, 1 = \rho_n^2 + s_n^2/4, \rho_n = \sqrt{1-s_n^2/4}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AC^2 = AS^2 + SC^2, s_{2n}^2 = s_n^2/4 + (1-\rho_n)^2 = s_n^2/4 + 1 - 2 \rho_n + \rho_n^2} ) leicht herleitbar:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_{2n}=\sqrt{2-2\sqrt{1-\tfrac{s_n^2}{4}}}}

Mit den vier Grundrechenarten und dem Wurzelziehen kann man also beginnend mit dem Zweieck die Seitenlänge und den Umfang eines einbeschriebenen Vielecks und damit indirekt eine Näherung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} berechnen. In der Praxis ist das Ergebnis jedoch enttäuschend. Die folgende Tabelle zeigt beginnend mit n=2 den Abstand $1-\rho _{n}$ der Seitenmitte S zum Kreisrand, die Seitenlängen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_n} des eingeschriebenen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_n = A'B' = s_n \cdot 1 / \rho_n} des umschriebenen n-Ecks und deren Flächen $a_{n}=ns_{n}\rho _{n}/2$ und $A_{n}=nS_{n}/2$ , die beim Einheitskreis gegen $\pi$ konvergieren sollten. Die Rechnung wurde in C mit doppelter Genauigkeit nach IEEE 754 und somit ca. 15 Dezimalstellen durchgeführt. Die Zahlenwerte sind aber auch mit jedem Taschenrechner, der Quadratwurzeln beherrscht, nachvollziehbar:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
             Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-\rho_n}
        Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_n}
         Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_n}
             $a_{n}$                   $A_{n}$ 
2          1.000e+00  2.00e+00       Inf  0.00000000000000               Inf
4          2.929e-01  1.41e+00  2.00e+00  2.00000000000000  4.00000000000000
8          7.612e-02  7.65e-01  8.28e-01  2.82842712474619  3.31370849898476
16         1.921e-02  3.90e-01  3.98e-01  3.06146745892072  3.18259787807453
32         4.815e-03  1.96e-01  1.97e-01  3.12144515225805  3.15172490742926
64         1.205e-03  9.81e-02  9.83e-02  3.13654849054593  3.14411838524589
128        3.012e-04  4.91e-02  4.91e-02  3.14033115695474  3.14222362994244
256        7.530e-05  2.45e-02  2.45e-02  3.14127725093262  3.14175036916881
512        1.882e-05  1.23e-02  1.23e-02  3.14151380114509  3.14163208070397
1024       4.706e-06  6.14e-03  6.14e-03  3.14157294036989  3.14160251025961
2048       1.177e-06  3.07e-03  3.07e-03  3.14158772527060  3.14159511774302
4096       2.941e-07  1.53e-03  1.53e-03  3.14159142155216  3.14159326967027
8192       7.353e-08  7.67e-04  7.67e-04  3.14159234553025  3.14159280755978
1.638e+04  1.838e-08  3.83e-04  3.83e-04  3.14159257570956  3.14159269121694
3.277e+04  4.596e-09  1.92e-04  1.92e-04  3.14159264036917  3.14159266924601
6.554e+04  1.149e-09  9.59e-05  9.59e-05  3.14159264171161  3.14159264893082
1.311e+05  2.872e-10  4.79e-05  4.79e-05  3.14159260647332  3.14159260827812
2.621e+05  7.181e-11  2.40e-05  2.40e-05  3.14159291071407  3.14159291116527
5.243e+05  1.795e-11  1.20e-05  1.20e-05  3.14159169662728  3.14159169674009
1.049e+06  4.488e-12  5.99e-06  5.99e-06  3.14159655369072  3.14159655371892
2.097e+06  1.122e-12  3.00e-06  3.00e-06  3.14159655370129  3.14159655370834
4.194e+06  2.804e-13  1.50e-06  1.50e-06  3.14151884046467  3.14151884046643
8.389e+06  7.017e-14  7.49e-07  7.49e-07  3.14120796828205  3.14120796828249
1.678e+07  1.754e-14  3.75e-07  3.75e-07  3.14245127249408  3.14245127249419
3.355e+07  4.441e-15  1.87e-07  1.87e-07  3.14245127249412  3.14245127249415
6.711e+07  1.110e-15  9.42e-08  9.42e-08  3.16227766016838  3.16227766016838
1.342e+08  2.220e-16  4.71e-08  4.71e-08  3.16227766016838  3.16227766016838
2.684e+08  0.000e+00  2.11e-08  2.11e-08  2.82842712474619  2.82842712474619
5.369e+08  0.000e+00  0.00e+00  0.00e+00  0.00000000000000  0.00000000000000

Man erkennt deutlich am Anfang die Konvergenz gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} . Nach Erreichen etwa der halben Stellenzahl beim 32768-Eck macht sich jedoch die Auslöschung bei der Subtraktion der fast gleich großen Zahlen 2 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\sqrt{1-s_n^2/4}} bemerkbar. Das Ergebnis wird jetzt wieder ungenauer und am Ende falsch (2-2.000...000xxx = 0).

In vielen Fällen, so auch hier, kann man die Auslöschung vermeiden, einfach indem man die betroffenen Subtraktionen vermeidet. Hier gelingt das mit einer Umformung der Formel in eine äquivalente Form ohne Subtraktion unter Anwendung von

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\quad \Rightarrow \quad a-b={\frac {a^{2}-b^{2}}{a+b}}$

mit $a=2,b=2{\sqrt {1-{\tfrac {s_{n}^{2}}{4}}}}$

Es ergibt sich:

$s_{2n}={\sqrt {2-2{\sqrt {1-{\frac {s_{n}^{2}}{4}}}}}}={\sqrt {\frac {4-4(1-{\frac {s_{n}^{2}}{4}})}{2+2{\sqrt {1-{\frac {s_{n}^{2}}{4}}}}}}}={\sqrt {2{\frac {1-1+{\frac {s_{n}^{2}}{4}}}{1+{\sqrt {1-{\frac {s_{n}^{2}}{4}}}}}}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}s_{n}^{2}{\frac {1}{1+{\sqrt {1-{\frac {s_{n}^{2}}{4}}}}}}}}$

Natürlich ist es ein glücklicher Zufall, dass sich im Zähler die Subtraktion „weghebt“. Jetzt verläuft die Rechnung wie erwünscht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
             Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-\rho_n}
        Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_n}
         Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_n}
            Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n}
                 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n}

2.000e+00  1.000e+00  2.00e+00       Inf  0.00000000000000               Inf
4.000e+00  2.929e-01  1.41e+00  2.00e+00  2.00000000000000  4.00000000000000
8.000e+00  7.612e-02  7.65e-01  8.28e-01  2.82842712474619  3.31370849898476
1.600e+01  1.921e-02  3.90e-01  3.98e-01  3.06146745892072  3.18259787807453
3.200e+01  4.815e-03  1.96e-01  1.97e-01  3.12144515225805  3.15172490742926
6.400e+01  1.205e-03  9.81e-02  9.83e-02  3.13654849054594  3.14411838524590
1.280e+02  3.012e-04  4.91e-02  4.91e-02  3.14033115695475  3.14222362994246
2.560e+02  7.530e-05  2.45e-02  2.45e-02  3.14127725093277  3.14175036916897
5.120e+02  1.882e-05  1.23e-02  1.23e-02  3.14151380114430  3.14163208070318
1.024e+03  4.706e-06  6.14e-03  6.14e-03  3.14157294036709  3.14160251025681
2.048e+03  1.177e-06  3.07e-03  3.07e-03  3.14158772527716  3.14159511774959
4.096e+03  2.941e-07  1.53e-03  1.53e-03  3.14159142151120  3.14159326962931
8.192e+03  7.353e-08  7.67e-04  7.67e-04  3.14159234557012  3.14159280759964
1.638e+04  1.838e-08  3.83e-04  3.83e-04  3.14159257658487  3.14159269209225
3.277e+04  4.596e-09  1.92e-04  1.92e-04  3.14159263433856  3.14159266321541
6.554e+04  1.149e-09  9.59e-05  9.59e-05  3.14159264877699  3.14159265599620
1.311e+05  2.872e-10  4.79e-05  4.79e-05  3.14159265238659  3.14159265419140
2.621e+05  7.181e-11  2.40e-05  2.40e-05  3.14159265328899  3.14159265374019
5.243e+05  1.795e-11  1.20e-05  1.20e-05  3.14159265351459  3.14159265362739
1.049e+06  4.488e-12  5.99e-06  5.99e-06  3.14159265357099  3.14159265359919
2.097e+06  1.122e-12  3.00e-06  3.00e-06  3.14159265358509  3.14159265359214
4.194e+06  2.804e-13  1.50e-06  1.50e-06  3.14159265358862  3.14159265359038
8.389e+06  7.017e-14  7.49e-07  7.49e-07  3.14159265358950  3.14159265358994
1.678e+07  1.754e-14  3.75e-07  3.75e-07  3.14159265358972  3.14159265358983
3.355e+07  4.441e-15  1.87e-07  1.87e-07  3.14159265358978  3.14159265358980
6.711e+07  1.110e-15  9.36e-08  9.36e-08  3.14159265358979  3.14159265358980
1.342e+08  2.220e-16  4.68e-08  4.68e-08  3.14159265358979  3.14159265358979
2.684e+08  0.000e+00  2.34e-08  2.34e-08  3.14159265358979  3.14159265358979

Schon bei dem 268435456-Eck erreicht man die volle Genauigkeit von knapp 16 Dezimalstellen. Das Abbruchsignal gibt die 0 in der zweiten Spalte.

Faustregel

Subtrahiert man zwei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -stellige, fast gleich große Zahlen, die in den ersten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} Stellen übereinstimmen, so gehen im Ergebnis von den eigentlich möglichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} Stellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} verloren. Es sind also nur noch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p-k} Stellen ungleich Null. Die Information, dass die ersten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} Stellen sich zu Null aufgehoben haben, geht dabei verloren. Die Genauigkeit des Ergebnisses vermindert sich um diese Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} Stellen.

Unterscheiden sich die Zahlen in den letzten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p-k} Stellen lediglich um Rundungsfehler, dann hat das Ergebnis keine Aussagekraft. Es sollte als solches nicht in weitere Berechnungen einfließen.

Differentialrechnung

Bei der numerischen Berechnung von Ableitungen durch Differenzenquotienten wie zum Beispiel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

tritt bei zu kleinem h Auslöschung auf, da die Funktionswerte dann nahezu gleich sind.

Einzelnachweise

↑ Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76492-2, S. 41 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1] Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76492-2, S. 41 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1]

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