BIBO-Stabilität

BIBO-Stabilität (von englisch bounded input, bounded output), auch Eingangs-/Ausgangs-Stabilität, ist ein Begriff aus der Systemtheorie bzw. Regelungstechnik. Die Stabilität eines Systems ist dann sichergestellt, wenn das Ausgangssignal bei beschränktem Eingangssignal nicht über alle Grenzen anwächst. Stabile Systeme können auf Grundlage der Energieerhaltung physikalisch realisiert werden ohne Sättigungseffekte zu zeigen.

Zur Definition von Stabilität gibt es verschiedene Methoden, wobei in der Systemtheorie die sogenannte BIBO-Stabilität üblich ist. Es wird dabei eine Einschränkung auf lineare zeitinvariante Systeme, sogenannte LTI-Systeme, in Form von kontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen vorgenommen.

Definition

Ein LTI-System ist dann BIBO-stabil, wenn es auf jede beschränkte Eingangsfunktion $x(t)$ bzw. jede beschränkte Eingangsfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x[k]} mit einer beschränkten Ausgangsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t)} bzw. mit einer beschränkten Ausgangsfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y[k]} reagiert. Eine Funktion ist dann beschränkt, wenn ihr Betrag für alle Zeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} kleiner als eine feste Schranke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |x(t)| < M < \infty}

Analog dazu genügt eine beschränkte Folge der Bedingung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |x[k]| < M < \infty}

Ein System ist dann BIBO-stabil, wenn mit einer endlichen Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |y(t)| < C \cdot M < \infty}

beziehungsweise für diskrete Systeme:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |y[k]| < C \cdot M < \infty}

Impulsantwort

Die BIBO-Stabilität eines LTI-Systems lässt sich auch über dessen Impulsantwort ausdrücken, wenn diese absolut integrierbar ist:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\left|g(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|g\|_{1}<\infty$

Für zeitdiskrete LTI-Systeme gilt analog:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|g[k]\right|} = \| g \|_{1} < \infty}

Literatur

• Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.