BMO-Raum

Der BMO-Raum ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Abkürzung BMO steht für „

bounded mean oscillation

“. Der Funktionenraum BMO wurde 1961 von Fritz John und Louis Nirenberg eingeführt. Dieser Raum ist ein Dualraum zum reellen Hardy-Raum $H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ (Charles Fefferman, Elias Stein 1972).

Definitionen

Sharp-Funktion

Sei $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ eine lokal integrierbare Funktion, so ist $f^{\sharp }$ definiert durch

$f^{\sharp }(x)=\sup _{\{B|x\in B\}}{\frac {1}{\mu (B)}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\mathrm {d} \mu (y),$

wobei das Supremum über alle Bälle $B$, welche $x$ enthalten, gebildet wird. Mit $f_{B}$ wird das Mittelwertintegral

$f_{B}={\frac {1}{\mu (B)}}\int _{B}f(z)\mathrm {d} \mu (z)$

bezeichnet.

BMO-Raum

Eine lokal integrierbare Funktion $f$ heißt BMO-Funktion, falls $f^{\sharp }$ beschränkt ist. Um eine Norm auf diesem Funktionenraum zu erhalten, identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt

$\|f\|_{BMO}=\|f^{\sharp }\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}.$

Würde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren, so wäre $\|.\|_{BMO}$ nur eine Halbnorm, also nicht definit. Mit dieser Norm wird der BMO-Raum zu einem Banachraum. Beispiele für BMO-Funktionen sind alle beschränkten, messbaren Funktionen und $\log(|P|)$ für ein Polynom P, welches nicht identisch null ist.

Dualität von H¹ und BMO

Charles Fefferman zeigte 1971, dass der BMO-Raum ein Dualraum von $H^{1}$, dem reellen Hardy-Raum mit p = 1, ist. Die Paarung zwischen $f\in H^{1}$ und $g\in BMO$ ist gegeben durch

$T_{g}(f)=(f,g)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x.$

Dann ist die Abbildung $BMO\rightarrow (H^{1})',g\mapsto T_{g}$ ein Banachraum-Isomorphismus (nicht isometrisch), in diesem Sinne ist $BMO$ Dualraum von $H^{1}$.

Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden, da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert. Jedoch gibt es für $f\in H^{1}$ einen dichten Unterraum $H_{a}^{1}$, auf dem das Integral absolut konvergiert. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach kann man dann das Funktional auf ganz $H^{1}$ fortsetzen. Als Raum $H_{a}^{1}$ kann man den Raum der H¹-Funktionen mit kompaktem Träger und mit $\textstyle \int _{\mathbb {R^{n}} }f(x)\mathrm {d} x=0$ wählen. Dies ist genau der Unterraum, welcher eine endliche atomare Zerlegung besitzt. Eine wichtige Konsequenz, welche sich aus dem Beweis zur Dualität ergibt, ist die folgende Ungleichung, die für $f\in H^{1}$ und $g\in BMO$ gilt:

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x\leq c\int _{\mathbf {R} ^{n}}M_{\Phi }(f)(x)\mathrm {d} x\int _{\mathbb {R} ^{n}}g^{\sharp }(x)\,\mathrm {d} x=c\|f\|_{H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\|g\|_{BMO}$.

Dabei ist $M_{\Phi }(\cdot )$ die nicht-tangentiale Maximalfunktion.

Literatur

• Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5