Ballistisches Pendel

Datei:Ballistisches Pendel.svg

Schematische Darstellung

Ein Ballistisches Pendel ist eine mechanische Vorrichtung, um Geschossgeschwindigkeiten zu messen. Es wurde 1742 von Benjamin Robins (1707–1751) erfunden.

Funktionsprinzip

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Ballistisches Pendel

Ein schwerer Holzklotz (im Bild eine Holzkugel) wird an einem langen Draht oder einer Stange horizontal drehbar aufgehängt. Das zu messende Geschoss wird auf den Holzklotz abgefeuert, bleibt dort stecken und lenkt ihn aus. Durch Messen der maximalen Pendelauslenkung lässt sich näherungsweise die Geschwindigkeit des abgefeuerten Geschosses berechnen.

Formel

Es sind gegeben:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} : Masse des Holzklotzes
• $m$: Masse des Geschosses
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} : Erdbeschleunigung
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} : Länge des Pendels von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt des Holzklotzes

Es wird gemessen:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_m} : Auslenkwinkel des Pendels zur Ruhelage (senkrecht)

Dann beträgt die Geschossgeschwindigkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = \left(\frac{M}{m} + 1\right) \sqrt {2 \, g \, l \, (1 - \cos \varphi_m)}}

Diese Formel ist ein Spezialfall der unten gegebenen Formel. Allerdings ist es sinnvoll, eine komplette Herleitung zu geben, da nicht immer der Winkel gegeben ist. In der Praxis ist es deutlich leichter, die Auslenkung zu messen. Man kennt den Winkel $\varphi$ also nicht, sondern nur die horizontale Auslenkung $L$.

Herleitung

Es handelt sich um einen unelastischen Stoß, für den der Impulserhaltungssatz gilt:

$(M+m)\cdot v'=m\cdot v$,

wobei $v'$ die Geschwindigkeit der Holzkugel mit dem Geschoss nach dem Stoß bezeichnet. Der Energieerhaltungssatz liefert hier kein hilfreiches Ergebnis, da ein Teil der kinetischen Energie des Geschosses beim unelastischen Stoß in Wärme umgewandelt wird. Die Geschwindigkeit des Geschosses berechnet sich mit Hilfe der gemessenen kinetischen Energie der Holzkugel mit dem Geschoss nach dem Stoß, die durch die Pendelvorrichtung möglichst verlustfrei in potentiellen Energie umgewandelt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} (M + m)\, v'^2 = (M + m)\,g\,h = E_\mathrm{pot} }

Für die Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h } der Auslenkung erhalten wir:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=l \cdot \left( 1 - \cos \varphi \right) }

Mit dem Winkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi = \arcsin \frac{L}{ l} }

und dem Theorem

$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

folgt eingesetzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2} (M+m) \, v'^2 = (M+m) \, g \cdot l \, \left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right) } .

Auflösen nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v' } liefert schließlich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v'= \sqrt{2\,g\,l\cdot\left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)}}

Das setzt man in den Impulserhalt des unelastischen Stoßes ein. Das liefert das Ergebnis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v=\frac{M+m}{m} \cdot \sqrt{2\,g\,l\cdot\left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)} }

Siehe auch

• Drall (Waffe)

Literatur

• Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 4. verbesserte Auflage. VDI-Verlag, Düsseldorf 1992, ISBN 3-18-401227-1.
• Beat Kneubuehl (Hrsg.), Robin Coupland, Markus Rothschild, Michael Thali: Wundballistik. Grundlagen und Anwendungen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Medizin Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79008-2.