Banachscher Abbildungssatz

Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien Mengen   $M$  und  $N$  und dazu Abbildungen

  ${\phi }\colon \,M\to N$   und   ${\psi }\colon \,N\to M$.

Dabei sei   ${\phi }$   injektiv.

Dann existieren Mengen   $M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}$   mit

 $M=M_{1}\cup M_{2}$  und  $M_{1}\cap M_{2}=\emptyset$ 

sowie

 $N=N_{1}\cup N_{2}$  und  $N_{1}\cap N_{2}=\emptyset$ 

derart, dass gilt:

 ${\phi }(M_{1})=N_{1}$  und  ${\psi }(N_{2})=M_{2}$ 

Verschärfung

Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen, dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung   ${\phi }\colon \,M\to N$   fallen gelassen wird.

Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:

Gegeben seien Mengen   $M$  und  $N$  und dazu Abbildungen

${\phi }\colon \,M\to N$   und   ${\psi }\colon \,N\to M$  .

Dann existieren Mengen   $M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}$   mit

 $M=M_{1}\cup M_{2}$  und  $M_{1}\cap M_{2}=\emptyset$ 

sowie

 $N=N_{1}\cup N_{2}$  und  $N_{1}\cap N_{2}=\emptyset$ 

derart, dass gilt:

 ${\phi }(M_{1})=N_{1}$  und  ${\psi }(N_{2})=M_{2}$ 

Beweis (Verschärfung)

Betrachte die Abbildung $F:{\mathcal {P}}(M)\rightarrow {\mathcal {P}}(M)$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(A) := M \setminus (\psi( N \setminus \phi(A))) } .

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F } monoton ist, besitzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F } nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_1 } . Es gilt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_1 = M \setminus ( \psi( N \setminus \phi(M_1))) } beziehungsweise äquivalent hierzu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M \setminus M_1 = \psi(N \setminus \phi(M_1)) } .

Wir setzen nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_2 := M\setminus M_1 } , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_1 := \phi(M_1) } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_2 := N \setminus N_1 } .

Hiermit erhalten wir wie gewünscht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\phi}(M_1) = N_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\psi}(N_2) = \psi(N\setminus \phi(M_1)) = M \setminus M_1 = M_2} .

Folgerung

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.

Literatur

Artikel und Originalarbeiten

• Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. 6, 1924, S. 236–239.
• Alfred Tarski: A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications. In: Pacific Journal of Mathematics. 5, 1955, S. 285–309.
• Bronislaw Knaster: Un théorème sur les fonctions d’ensembles. In: Ann. Soc. Polon. Math.. 6, 1928, S. 133–134.

Monographien

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1979. 
• Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7. 
• Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8.