Benutzer:Aknot/LQ-Regler
Der LQ-Regler (Linear-Quadratischer Regler), auch Riccati-Regler, ist ein Zustandsregler für ein lineares dynamisches System, dessen Rückführmatrix über die Minimierung eines quadratischen Kostenfunktionals ermittelt wird. Seine Synthese ist somit ein Teilproblem der optimalen Regelung.
Allgemein
Ein übliches Verfahren für die Auslegung eines Zustandsreglers ist die Polplatzierung. Dabei werden die Eigenwerte des geschlossenen Kreises und somit dessen Dynamik gezielt vorgegeben. Die Nachteile dieses Verfahrens liegen darin, dass die Güte einzelner Zustände nicht in den Vordergrund gestellt und Stellgrößenbegrenzungen sowie der Stellaufwand nur indirekt berücksichtigt werden können. Beides ist jedoch in der praktischen Anwendung oft gewünscht und wird durch den LQ-Regler ermöglicht. Dazu wird für einen finiten Zeithorizont Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} ein Gütefunktional folgender Form vorausgesetzt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J(u,x_0)=\frac{1}{2}x(T)^\top \mathbf{S} x(T)+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^T x(t)^\top \mathbf{Q} x(t)+u(t)^\top \mathbf{R} u(t)\ dt}
Die Zustände und Stellgrößen gehen jeweils quadratisch ein. Mit den Wichtungsmatrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}} werden die Zustandsendwerte sowie die Zustands- und Stellgrößentrajektorien priorisiert.
Bedeutung der Wichtungsmatrizen
: Mit den Diagonalelementen dieser quadratischen Matrix kann die Geschwindigkeit mit der die einzelnen Zuständen gen Null getrieben werden sollen bestimmt werden. Die anderen Matrixelemente erlauben keine direkte Interpretation ihrer Wirkung auf das Systemverhalten und werden deshalb in der Regel zu Null gewählt. Eine zusätzliche Bedingung ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{A},\mathbf{Q})} beobachtbar sein muss, was durch Besetzung aller Diagonalelemente mit Werten größer Null erreicht werden kann (positv semidefinite Matrix).
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}} : Besitzt das System nur einen Eingang, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}} ein Skalar, ansonsten eine quadratische Matrix. Je größer die Diagonalelemente gewählt werden, desto kleiner werden die Stellgrößen gehalten und desto langsamer wird die Regelung. Die Elemente müssen größer oder gleich Null sein (positiv definite Matrix).
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}} : Diese Matrix ist wiederum quadratisch und positiv semidefinit. Sie dient bei Betrachtung eines finiten Zeithorizonts zur Minimierung der Endwerte der Zustände, falls die Zeit nicht ausreicht, um die Zustände auf Null zu treiben. Bei Betrachtung eines infiniten Zeithorizonts entfällt diese Wichtung, da die Zustände für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \to \infty} gegen Null streben müssen, da ansonsten das Integral nicht konvergieren würde.
Zusätzlich kann der Integrand im Sinne der ersten binomischen Formel um die gekoppelte Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x(t)^\top\mathbf{N}u(t)} erweitert werden.
Es kann also durch den Ingenieur für jeden Zustand und jeden Stelleingang separat eingestellt werden mit welcher Wichtigkeit er gegen Null getrieben bzw. klein gehalten werden soll. Trotzdessen, dass bei der Lösung des Problems ein Regler entsteht, der die Güteanforderung optimal erfüllt, obliegt es also weiterhin dem Entwickler durch die Wahl der Matrixelemente die Feineinstellung zu seiner Zufriedenheit vorzunehmen. Somit bleibt auch die Auslegung des LQ-Reglers in aller Regel ein iterativer Prozess.
Reglersynthese
Basis der Betrachtung ist ein lineares, zeitinvariantes System:
Zur Lösung des Problems muss das Güteintegral gelöst werden, was relativ leicht durch partielle Integration möglich ist. Dabei werden die Systemzustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t)} mit dem Anfangszustand und der Matrixexponente zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0\ e^{\mathbf{A}t}} sowie der Stelleingang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} mit den über die Reglermatrix rückgekoppelten Zustände zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\mathbf{K}^\top x(t)} ersetzt. Die Integration führt zunächst zur Ljapunow-Gleichung, in welcher abschließend noch die Reglermatrix ersetzt werden muss. Da die integrierte Kostenfunktion quadratisch ist, besitzt sie genau ein globales Minimum an der Stelle, an der die Ableitung nach den Reglerkoeffizienten Null ist. Diese Ableitung ausgeführt und umgeformt ergibt für den Fall des infiniten Zeithorizonts abschließend die algebraische Riccati-Gleichung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{PA+A^\top P-PBR^{-1}B^\top P+Q}=0}
Nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}}
aufgelöst gelangt man nun zur optimalen LQ-Reglermatrix Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbf {K=R^{-1}B^{\top }P} }
.
Für den Fall des finiten Zeithorizonts sind und somit auch die entstehende Reglermatrix zeitabhängig und die algebraische Riccati-Gleichung wird zur Riccati-Differentialgleichung:
- mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}(T)=\mathbf{S}}
Anmerkungen zum LQ-Regler
- Der LQ-Reglerentwurf kann als automatisiertes Verfahren betrachtet werden, das einen Zustandsregler erzeugt, der vorgegebene Kriterien optimal erfüllt.
- Die festzulegenden Wichtungen sind anschaulich in ihren Auswirkungen und es können gezielt Stellgrößenbegrenzungen oder einzelne Zustände beachtet werden.
- Im Gegensatz zur Polplatzierung ist der LQ-Reglerentwurf auch im Mehrgrößenfall eindeutig.
- Für die Lösung der Riccati-Gleichungen sind im Allgemeinen numerische Verfahren nötig.
- Der entstehende Regler ist stabil, besitzt aber wie alle Zustandsregler von sich aus keine stationäre Genauigkeit, was mit einem Vorfilter oder einem Führungsintegrator zu kompensieren ist.
Siehe auch
Literatur
- Jan Lunze: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung. 5. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78462-3, S. 669.
- Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik. 9. Auflage. Harri Deutsch, 2012, ISBN 978-3-8171-1895-3, S. 1471.
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