Benutzer:Algebraiker/Projektiver Klassifikationssatz von Arnold

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Der projektive Klassifikationssatz von Arnold ist ein mathematisches Resultat aus dem Teilgebiet Geometrische Relationenalgebra und geht auf den deutschen Mathematiker Hans-Joachim Arnold zurück.

Die Bedeutung dieses Klassifikationstheorems liegt darin, daß es Arnold mit den projektiven Relativen im Jahr 1974 gelingt, eine einheitliche, eindeutige und algebraische Kennzeichnung aller projektiven Geometrien herzustellen. Projektive Geometrien werden von Arnold zunächst mit so genannten (dreidimensionalen) projektiven Multigrupen synonym beschrieben . Mit den auf dieser Punktmenge operierenden (2x2)-Relationen, die wiederum ein projektives (2x2)-Relativ synoym definieren, gelingt dann durch die konstruktive Erweiterbarkeit zu einer (H2x2)-Homogenitätsregel die Beschreibung des großen projektiven Satzes von Desargues in der Ebene .

Begrifflichkeit

Man spricht von einer projektiven Multigruppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$, wenn gegeben sind:

• eine Menge ${\mathcal {P}}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}$ sowie
• eine zweistellige Operation

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\longrightarrow \mathrm {Pot} \;{\mathcal {P}}\setminus \{\emptyset \}\\{\mathfrak {A,B}}\longmapsto {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}:={\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\end{array}}\right.$

( ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}$ ist ein Produkt des in $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ mit $\;\;\cdot \;\;$ zitierten Multiplikationszeichens; der Malpunkt wird im folgenden also nicht mehr geschrieben!)

und wenn folgende Eigenschaften mit der Erweiterung $\mathrm {Pot} \;{\mathcal {P}}\setminus \{\emptyset \}\ni {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\mapsto {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}:=\bigcup _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {A}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {B}}}{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}$ gelten:

1. Existenz des neutralen Elements: ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {E}}={\mathfrak {E}}{\mathfrak {A}}=\{{\mathfrak {A}}\}.$
2. Idempotenzregel: ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {A}}\subset \{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {E}}\}.$
3. Austauschregel: ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {C}}\;\succ \;{\mathfrak {C}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {A}}.$
4. Assoziativgesetz: $({\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}){\mathfrak {C}}\;=\;{\mathfrak {A}}({\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}}).$
5. Kommutativgesetz: ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\;=\;{\mathfrak {B}}{\mathfrak {A}}.$

Man spricht von einer projektiven Geometrie $(\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten $\mathbb {P} =\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge von Geraden $\mathbb {G} =\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} (\mathbb {P} ),$
• die mengentheoretische Elementbeziehung $\in$ als Inzidenzrelation,

und wenn die folgenden Axiome gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: $\bigwedge _{A,B\in \mathbb {P} }:A\neq B\Rightarrow \bigvee _{g\in \mathbb {G} }^{1}:A,B\in g.$ Man setzt für diese zu $A\neq B$ eindeutig bestimmte Verbindungsgerade $g$ auch $g_{AB}$.
2. Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte: $\bigwedge _{g\in \mathbb {G} }\bigvee _{A,B,C\in \mathbb {P} }:A\neq B\neq C\neq A\wedge A\in g\wedge B\in g\wedge C\in g.$
3. Veblensches Axiom: $\bigwedge _{A,B,C,D\in \mathbb {P} }A\neq B\neq C\neq D\neq A:g_{A,B}\cap g_{C,D}\neq \varnothing \;\Rightarrow \;g_{B,C}\cap g_{A,D}\neq \varnothing .$

$({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ sei eine projektive Multigruppe mit einer Basis aus 3 Punkten, d.h. drei Elementen aus $\mathbb {P} :={\mathcal {P}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}$ .

In dem zugehörigen projektiven Relativ $({\mathcal {P}}_{2},{\mathcal {R}}_{2})$ werden die (2x2)-Relationen als binäre Relationen auf der Menge ${\mathcal {P}}_{2}:=\left\{{\binom {\mathfrak {C^{1}}}{\mathfrak {C^{2}}}}\;\vert \;{\mathfrak {C^{i}}}\in {\mathcal {P}},i=1,2\right\}$ gemäß ${\mathcal {R}}_{2}:=\left\{{\frac {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}\;\vert \;{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {P}}\right\}$ und ${\binom {\mathfrak {C_{1}^{1}}}{\mathfrak {C_{1}^{2}}}}{\frac {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}{\binom {\mathfrak {C_{2}^{1}}}{\mathfrak {C_{2}^{2}}}}$ über

${\mathfrak {C_{1}^{i}}}{\mathfrak {A}}\ni {\mathfrak {C_{2}^{i}}};\;i=1,2$

${\mathfrak {C_{i}^{1}}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {C_{i}^{2}}};\;i=1,2$

definiert.

Formulierung des Satzes

Aus einer projektiven Geometrie $(\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )$ mit $\lambda$ als Kennzeichen ihrer Ordnung entsteht eine projektive Multigruppe $({\mathcal {P}}:=\mathbb {P} \cup \{{\mathfrak {E}}\};\cdot ,{\mathfrak {E}})$, wenn man setzt: $\bigwedge _{A,B\in \mathbb {P} }\;A\cdot B:={\begin{cases}\{A\},&{\text{falls }}\;A=B,\,\lambda =3\\\{A,{\mathfrak {E}}\},&{\text{falls }}\;A=B,\,\lambda >3\\g_{A,B},&{\text{falls }}\;A\neq B.\end{cases}}$

Aus einer projektiven Multigrppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ entsteht eine projektive Geometrie $(\mathbb {P} :={\mathcal {P}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\},\mathbb {G} ,\in )$ mit $\mathbb {G} :=\{{\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\mid {\mathfrak {A}}\neq {\mathfrak {B}}\in \mathbb {P} \},\;{\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}:={\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\cup \{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\}$

Aufgrund des synonymen Zusammenhangs sind projektive Multigruppen und projektive Geometrien zwei verschiedene Sprechweisen für ein und denselben Sachverhalt, die projektive (H2x2)-Homogenitätsregel

$(H_{2x2})\;\bigwedge _{{\mathfrak {A_{i}}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {P}}}:{\mathfrak {A_{1}}}\in {\mathfrak {A_{2}}}{\mathfrak {A_{3}}}\;\;\Rightarrow \;\;{\frac {\mathfrak {A_{1}}}{\mathfrak {B}}}\;\subset \;{\frac {\mathfrak {A_{2}}}{\mathfrak {B}}}\;\circ \;{\frac {\mathfrak {A_{3}}}{\mathfrak {B}}}$

ist umkehrbar eindeutig der Gültigkeit des großen Satzes von Desargues in einer projektiven Ebene $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})\gamma =({\mathcal {P}}_{2},{\mathcal {R}}_{2})$ - der Funktor $\;\gamma$ ist das oben beschriebene Geometrisierungsverfahren - zugeordnet.

Literatur

• H.-J. Arnold, W. Benz, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra. Proceedings des Symposiums über Geometrische Algebra vom 29. März bis 3. April 1976 in Duisburg. Basel: Birkhäuser 1977, ISBN 978-3-0348-5573-0. doi:10.1007/978-3-0348-5573-0.
• H.-J. Arnold, W. Junkers, W. Kühnel, G. Törner, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra und ihren Anwendungen. Proceedings des 2. Duisburger Symposiums über Geometrische Algebra und ihre Anwendungen. Universität Duisburg 1987.

Einzelnachweise

Kategorie:Satz (Mathematik)