Benutzer:Algebraiker/Relationenalgebraischer Klassifikationssatz dynamischer Systeme

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Der relationenalgebraische Klassifikationssatz ist ein mathematisches Resultat aus dem Teilgebiet Geometrische Relationenalgebra und geht auf den deutschen Mathematiker Hans-Joachim Arnold zurück.

Die bei affinen Geometrien gewählten Vorgehensweise, jeweils einer Parallelschar eine Relation eines affinen Relativs zuzuordnen und damit einen synoymen Zusammenhang herzustellen, wendet Arnold bei der Konstruktion eines systembeschreibenden Relativs an. Den festen Stellwerten eines vorgegebenen Systems der ingenieurwissenschaftlichen Kontrolltheorie werden binäre Relationen auf dem kartesichen Produkt der Zeit- und Zustandsmenge des Systems zugeordnet, deren Produkt in geeigneten Zeitintervallen zu den Kontrollfunktionen führt. Die dadurch von Arnold definierten Regel-Relative erlauben eine synonyme Kennzeichung des abstrakten Systembegriffs von Eduardo Sontag und Rudolf Kálmán .

Begrifflichkeit

Man spricht von einem allgemeinen dynamischen System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ nach Sontag und Kalman, wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+)$ ;
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {U}}$, deren Elemente "Stellwerte" heißen;
• eine Funktion $\Phi :{\mathcal {D}}_{\Phi }\longrightarrow X,$

wobei ${\mathcal {D}}_{\Phi }$ eine Teilmenge ist von $\{(\tau ,\sigma ,x,\omega )\mid \sigma ,\tau \in {\mathcal {T}};\sigma \leq \tau ;x\in X;\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}\}$

und wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Nicht-Trivialität: Zu jedem Zustand $x_{0}\in X$ gibt es mindestens ein Paar $\sigma <\tau$ in ${\mathcal {T}}$ und ein $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ derart, dass "$\omega$ auf $x_{0}$ anwendbar" ist, d. h. derart, dass $(\tau ,\sigma ,x_{0},\omega )\in {\mathcal {D}}_{\Phi }$
2. Restriktion: Ist $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ anwendbar auf $x$, so ist auch für jedes $\mu \in [\sigma ,\tau )$ die Restriktion $\omega _{1}=\omega \mid _{[\sigma ,\mu )}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ auf $x$ anwendbar und die Restriktion $\omega _{2}=\omega \mid _{[\mu ,\tau )}\in U^{[\mu ,\tau )}$ ist anwendbar auf $x(\mu )=(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi$ .
3. Halbgruppe: Sind $\sigma ,\mu ,\tau$ drei reelle Zahlen mit $\sigma <\mu <\tau$, ist $\omega _{1}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ und $\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\mu ,\tau )}$ und ist $x$ ein Zustand mit $(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi =x_{1}\wedge (\tau ,\mu ,x_{1},\omega _{2})\Phi =x_{2}$ , dann ist die Verkettung $\omega =\omega _{1}{\dot {\vee }}\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =x_{2}.$
4. Identität: Für jedes $\sigma \in {\mathcal {T}}$ und jedes $x\in X$ ist die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\sigma )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\sigma ,\sigma ,x,\diamond )\Phi =x.$
5. Reduktion: Es seien $u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}}$ und es gelte $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\Phi =(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\Phi$ , wobei $\omega _{u_{i}}(t)\equiv u_{i}\;{\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )$

gesetzt sei, so folgt $u_{1}=u_{2}.$

[ Die Prämisse des Reduktionsaxioms umfasst $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\in {\mathcal {D}}_{\Phi }\Leftrightarrow (\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\in {\mathcal {D}}_{\Phi }.]$

Man spricht von einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt),$ wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+);$
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {R}}$ von binären Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X:{\mathcal {R}}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}});$
• eine Abbildungsschar $\Pi \cdot dt$, in der zu jedem Paar $\sigma ,\tau \in {\mathcal {T}}$ mit $\sigma \leq \tau$ eine Abbildung

$\Pi _{\sigma }^{\tau }\cdot dt\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}\longrightarrow \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}})\\\Omega \longmapsto \Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\end{array}}\right.$

existiert

und wenn die folgenden Axiome gelten:

1. $\bigwedge _{x\in X}\bigvee _{\sigma <\tau }\bigvee _{\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset .$
2. $(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{1})\wedge (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{2})\succ y_{1}=y_{2}.$
3. $\Pi _{\sigma }^{\mu }\Omega _{1}dt\circ \Pi _{\mu }^{\tau }\Omega _{2}dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }(\Omega _{1}{\dot {\vee }}\Omega _{2})dt.$
4. $\bigwedge _{c\in {\mathcal {R}}}\Pi _{\sigma }^{\tau }cdt=c\cap (\tau -\sigma ),$ wobei $(\tau -\sigma )$ die gemäß $(\sigma ',x)(\tau -\sigma )(\tau ',y)\;:\Leftrightarrow \;\tau '=\tau \wedge \sigma '=\sigma$ erklärte Relation ist und $\Pi _{\sigma }^{\tau }c\,dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega _{c}dt$ zu setzen ist für $\Omega _{c}(t)\equiv c\;$ f.a. $t\in [\sigma ,\tau ).$
5. $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\sigma }\diamond dt(\sigma ,x)$ gilt für die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\sigma )}.$

Formulierung des Satzes

Aus einem System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens $\Gamma$ ein Regel-Relativ $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)=({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma$:

$(1)\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}:=\lbrace \langle u\rangle \mid u\in {\mathcal {U}}\rbrace \\(\sigma ,x)\left\langle u\right\rangle (\tau ,y):\Leftrightarrow (\tau ,\sigma ,x,\omega _{u})\Phi =y\\({\text{wobei }}w_{u}(t)\equiv u\;\;{\text{f.a. }}t\in [\sigma ,\tau ))\end{array}}\right.$

$(2)\colon \left\{{\begin{array}{c}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y):\Leftrightarrow \\\bigvee _{\omega (\cdot )\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}}\Omega (\cdot )=\left\langle \omega (\cdot )\right\rangle \wedge (\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =y\\{\text{Dabei bedeutet }}\Omega (\cdot )=\left\langle \omega (\cdot )\right\rangle {\text{ soviel wie }}\Omega (t)=\left\langle \omega (t)\right\rangle {\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )\end{array}}\right.$

Aus einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ entsteht durch Anwendung des Verfahrens $\Sigma$ ein System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )=({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma$ :

Aus ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X$ entnimmt man die ersten beiden Komponenten des zu definierenden Quadrupels $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$;

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {U}}:={\mathcal {R}};\\{\mathcal {D}}_{\Phi }:=\{(\tau ,\sigma ,x,\Omega )\mid \sigma \leq \tau ,x\in X,\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )},(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset \};\\(\tau ,\sigma ,x,\Omega )\Phi =y:\Leftrightarrow (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y).\end{array}}\right.$

Für alle Regel-Relative $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ und alle Systeme $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ gilt:

$({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma \Gamma =({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt).$

$({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma \Sigma \cong ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi ).$

Regel-Relative und Systeme sind synonym, denn die Verfahren $\Gamma$ und $\Sigma$ kehren einander um.

Literatur

• H.-J. Arnold, W. Benz, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra. Proceedings des Symposiums über Geometrische Algebra vom 29. März bis 3. April 1976 in Duisburg. Basel: Birkhäuser 1977, ISBN 978-3-0348-5573-0. doi:10.1007/978-3-0348-5573-0.
• H.-J. Arnold, W. Junkers, W. Kühnel, G. Törner, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra und ihren Anwendungen. Proceedings des 2. Duisburger Symposiums über Geometrische Algebra und ihre Anwendungen. Universität Duisburg 1987.

Einzelnachweise

Kategorie:Satz (Mathematik)