Benutzer:AlleAnderenNamenSchonVergeben

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Datei:Mathematische Struktur.png

Übersicht einer Auswal mathematischer Struktur

Datei:Ulam-spiral million.png

Ulam-Spirale mit Zahlen von 1 bis 1.000.000. Primzahlen in rot; Je mehr Teiler desto mehr grün.

Konstruktion reeller Quadratwurzeln

Satz des Thales

Mithilfe des Satz des Thales lässt sich die Quadratwurzel $h={\sqrt {x}},\ x>0$ konstruieren, denn es gilt $h^{2}=pq$. Setzt man $p=1$, $q=x$ und konstruiert einen Thaleskreis, so ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks gleich der Quadratwurzel von $x$

Datei:SquarerootThales.png

Konstruktion von ${\sqrt {x}}$ mit Zirkel und Lineal

Fraktale Kosmologie

/Fraktale Kosmologie

Taylor-Formel - approximation des sinus

Taylor-Formel

Datei:Taylor-polynomial-sinus-n-0-40.gif

Approximation des Sinus durch Taylorpolynome T_0,sin bis T_40,sin

Induktive Berechnung einer Basis (eines Untermoduls)

Basis (Modul)

Sei $R$ ein Hauptidealring und $M$ ein freier $R$-Modul. Eine Basis des $R$-Untermoduls $N<M$ kann induktiv berechnet werden:

Sei $\{m_{1},\dotsc ,m_{n}\}$ eine Basis von $M$, betrachte $N_{i}=N\cap <m_{1},\dotsc ,m_{i}>$.

Das Ideal $\{r\in R:\exists m\in N_{i+1}{\text{ mit }}m=m'+r\cdot m_{i+1}{\text{ und }}m'\in <m_{1},\dotsc ,m_{i}>\}$ werde von dem Ringelement $a_{i+1}$ erzeugt und es sei

$n_{i+1}=m'+a_{i+1}\cdot m_{i+1}\in N_{i+1}{\text{ mit }}m'\in <m_{1},\dotsc ,m_{i}>$,

dann gilt $N_{i+1}=N_{i}\oplus R\cdot n_{i+1}$.

Beispiel

Sei $M=\mathbb {Z} ^{3}=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>$ ein $\mathbb {Z}$-Modul und der Untermodul definiert durch $N:=\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}+3z_{2}+4z_{3}=0\land 5{\text{ teilt }}z_{2}\}$.

Eine Basis von $N$ kann nun wie folgt berechnet werden:

$N_{1}=N\cap <(1,0,0)>=\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}=0\}=\{(0,0,0)\}$ $N_{2}=N\cap <(1,0,0),(0,1,0)>=\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}+3z_{2}=0\land 5\vert z_{2}\}$

Wir suchen nun das kleinste positive $z_{2}$, welches obige Gleichung erfüllt.

$\Rightarrow N_{2}=<(-15,10,0)>$

$N_{3}=N\cap <(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>=N$

Wir suchen das kleinste positive $z_{3}$, welches die Gleichung erfüllt.

$\Rightarrow N_{3}=N_{2}\oplus <(-2,0,1)>$

Wir haben eine Basis $N=<(-15,10,0),(-2,0,1)>$ gefunden.