Benutzer:AlterVista/Price alt

Diese Seite enthält detailierte alternative Erläuterungen zum Artikel Price-Gleichung. Wenn es hier Bezüge zu Gleichungen gibt, die nicht auf dieser Seite stehen, findet man sie im Hauptartikel Price-Gleichung.

Detailierte Herleitung für Gleichung (A.11)

Das Ziel ist, eine Gleichung für die Änderung von z von Generation zu Generation zu finden.

$\Delta z=z'-z,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.a)$

Mit Gleichung (A.5) wird daraus:

$\Delta z={\frac {\sum _{i}z_{i}'n_{i}'}{n'}}-z,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.b)$

Mit den Gleichungen (A.3) und (A.8) ersetzt man nun n' durch w und n:

$\Delta z={\frac {\sum _{i}z_{i}'n_{i}w_{i}}{nw}}-z,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.c)$

Nun greift man zu einem ersten Trick und subtrahiert einen Term, den man gleich wieder addiert (die mittleren beiden Terme):

$\Delta z={\frac {\sum _{i}z_{i}'n_{i}w_{i}}{nw}}-{\frac {\sum _{i}z_{i}n_{i}w_{i}}{nw}}+{\frac {\sum _{i}z_{i}n_{i}w_{i}}{nw}}-z,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.d)$

Nun kann man den ersten und zweiten Term zusammenfassen:

$\Delta z={\frac {\sum _{i}\Delta z_{i}'n_{i}w_{i}}{nw}}+{\frac {\sum _{i}z_{i}n_{i}w_{i}}{nw}}-z,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.e)$

Der erste Term ist nun ein Erwartungswert. Siehe die Definition in Gleichung (1).

$\Delta z=\operatorname {E} (w_{i}\Delta z/w)+{\frac {\sum _{i}z_{i}n_{i}w_{i}}{nw}}-z,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.f)$

Nun greift man zu einem zweiten Trick und multipliziert an den abschließenden Term eine 1 (was trivialerweise keine Änderung bringt). Diese 1 schreibt man jedoch nicht 1, sondern (siehe Gleichung (A.8)).

$1={\frac {\sum _{i}w_{i}n_{i}}{nw}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.g)$

Damit wird aus Gleichung (A.11.f):

$\Delta z=\operatorname {E} (w_{i}\Delta z/w)+{\frac {\sum _{i}z_{i}n_{i}w_{i}}{nw}}-z{\frac {\sum _{i}w_{i}n_{i}}{nw}},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.h)$

Nun betrachtet man wieder Gleichung (1) und erinnert sich, dass auch z der Erwartungswert über die z_i ist, woraufhin man erkennt, dass man es in den letzten zwei Termen mit drei Erwartungswerten zu tun hat:

$\Delta z=\operatorname {E} (w_{i}\Delta z/w)+\operatorname {E} (z_{i}w_{i}/w)-\operatorname {E} (z_{i})\operatorname {E} (w_{i}/w),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.i)$

Mit Gleichung (2) ergibt sich nun Gleichung (A.11):

$\Delta z=\operatorname {E} (w_{i}\Delta z/w)+\operatorname {cov} (z_{i},w_{i}/w).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A.11.j)$