Benutzer:Alva2004/Materialtheorie

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Materialtheorie

Die Materialtheorie beschäftigt sich mit dem individuellen Merkmalen von Materialien. Ziel eines Materialmodells ist es Gleichungen aufzustellen, die das System von kinematischen Gleichungen und Naturgesetzen abschließen. Dabei sollten alle wesentlichen Aspekte des Materialverhaltens eingefangen werden, wobei das was wesentlich ist, vom Beobachter festgelegt wird. Stoff- oder Materialgesetze, wie Materialmodelle manchmal genannt werden, haben nicht die allgemeine Gültigkeit physikalischer Gesetze.

Einfache Materialien

Die Materialtheorie der klassischen Kontinuumsmechanik setzt Determinismus, Lokalität und Objektivität des Materials voraus. Determinismus bedeutet, dass der aktuelle Zustand eines Körpers in einem seiner materiellen Punkte vollständig und eindeutig durch die vergangene Bewegung des Körpers bestimmt wird. Lokalität schränkt die Einflusssphäre der Außenwelt auf den aktuellen Spannungszustand in einem materiellen Punkt auf seine nahe Umgebung ein, Wirkungen pflanzen sich von einem materiellen Punkt zu seinen nächsten fort. Materielle Objektivität bedeutet, dass sich die Spannungen nicht ändern, wenn der Bewegung beliebige Starrkörperbewegungen überlagert werden. Materialien, die diese drei Voraussetzungen erfüllen, heißen einfach. Bei einfachen Materialien vom Grad 1 ergeben sich die Spannungen in einem materiellen Punkt aus den vergangenen Werten und dem aktuellen Wert des Green'schen Verzerrungstensors oder daraus ableitbaren Größen in diesem Punkt. Materialien höheren Grades benutzen auch höhere Ableitungen nach den materiellen Koordinaten als die ersten, die den Deformationsgradienten ausmachen.

Materielle Zwangsbedingungen

Materielle Zwangsbedingungen stellen kinematische Nebenbedingungen dar, die die Deformation eines Materials einschränken. Die bekannteste dieser Bedingungen ist die Inkompressibilität, die dem Material nur volumenerhaltende Verformungen erlauben, wie sie einige Flüssigkeiten oder gummielastische Materialien zeigen. Die kinematische Nebenbedingung lautet hier ${\text{det}}\left({\textbf {F}}\right){\equiv }1$ . Die Reaktionsspannungen im Material ergeben sich dann aus den Bilanzgleichungen und Randbedingungen. Bei Inkompressibilität z.B. ist die Reaktionsspannung der Druck im Material. Die stärkste Nebenbedingung ist die, die den starren Körper auszeichnet. Hier sind die Spannungen vollständig durch die Naturgesetze und Nebenbedingungen bestimmt.

Materielle Symmetrien

Materielle Symmetrien beschreiben welche Transformationen des Deformationsgradienten erlaubt sind, ohne dass sich die Spannungen ändern. Diese Transformationen bilden die Symmetriegruppe des Materials. Sind alle volumenerhaltenden Transformationen erlaubt, liegt eine Flüssigkeit oder ein Gas vor. Bei Feststoffen sind nur Drehungen erlaubt: Bei isotropen Feststoffen sind alle Drehungen, bei transversal isotropen beliebige Drehungen um eine Achse, bei orthotropen nur 180° Drehungen um drei zueinander orthogonale Achsen und bei vollständig anisotropen sind nur "Drehungen" um 0° erlaubt.

Konstitutive Gleichungen

Die konstitutiven Gleichungen geben eine Relation zwischen den Dehnungen und den Spannungen in Form von Integral-, Differenzial- oder algebraischen Gleichungen. Diese dürfen den materiellen Zwangsbedingungen nicht widersprechen. Die folgenden Materialmodelle geben Beispiele für konstitutive Gleichungen.

1. Ideales Gas: Beim idealen Gas ist der Druck p proportional zur Dichte $\rho$ und Temperatur T: ${\textbf {T}}=-p{\textbf {I}}=-RT\rho {\textbf {I}}$ worin R ein Materialparameter ist.
2. Linear viskoses oder Newtonsches Fluid: ${\textbf {T}}=-p(\rho ){\textbf {I}}+2\mu {\textbf {D}}+\lambda {\text{tr}}\left({\textbf {D}}\right){\textbf {I}}$ worin die Materialparameter $\mu$ die dynamische Viskosität und $\lambda$ die erste Lamé Konstante ist. Dieses Materialmodell liefert in Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung und der Impulsbilanz die Navier-Stokes-Gleichungen.
3. Hooke'sche Elastizität: ${\textbf {T}}=2G\left({\textbf {E}}_{L}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}{\text{Sp}}\left({\textbf {E}}_{L}\right){\textbf {I}}\right)$ . Darin ist $G$ der Schubmodul, $\nu$ die Querkontraktionszahl, Sp die Spur und ${\textbf {E}}_{L}$ der Green'sche Verzerrungstensor bei kleinen Deformationen.
4. Viskoelastizität: ${\textbf {T}}=2{\int }_{0}^{t}\gamma \left(t-\tau \right){\textbf {E}}_{L}(\tau ){\text{'}}^{\text{D}}{\text{d}}\tau +{\int }_{0}^{t}\kappa \left(t-\tau \right){\text{Sp}}{\lbrack }{\textbf {E}}_{L}(\tau ){\text{'}}{\rbrack }{\text{d}}\tau I$ . Darin bedeutet ()' die Ableitung nach $\tau$ , ${()}^{\text{D}}$ den Deviator und $\gamma \left(t\right)$ und $\kappa \left(t\right)$ sind Relaxationsfunktionen für den Schub- bzw. den volumetrischen Anteil der Deformation.
5. Plastizität: Bei der geschwindigkeitsunabhängigen Plastizität wird das Material mit algebraischen und Differenzialgleichungen formuliert. Mit Differenzialgleichungen wird die Entwicklung der inneren Variablen, z.B. die plastischen Dehnungen (Fließregel), die isotrope und kinematische Verfestigung beschrieben. Die algebraischen Gleichungen legen die additive Aufspaltung der Dehnungen in einen elastischen und einen plastischen Anteil, die Beziehung zwischen den Spannungen und den elastischen Dehnungen und die Fließfläche, die im Spannungsraum den elastischen Bereich vom plastischen Bereich trennt, fest. In der klassischen Plastizität verbleiben die Spannungen beim Fließen auf der Fließfläche.
6. Viskoplastizität: Bei der geschwindigkeitsabhängigen Plastizität wird das Material auch mit algebraischen und Differenzialgleichungen formuliert. Hier können die Spannungen jedoch zeitweilig außerhalb der Fließfläche liegen, kehren aber bei einer Relaxation auf diese zurück.

Die Feststoffmodelle 3 bis 6 sind Repräsentanten der vier Gruppen von Modellen der klassischen Materialtheorie, die geschwindigkeitsabhängiges oder unabhängiges Verhalten mit oder ohne ( gleichgewichts-) Hysterese beschreiben.