Benutzer:B-greift/Große Kardinalzahl

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Notizen und Entwürfe

Schwach kompakte Kardinalzahl

... ist regulär

Aus der kombinatorischen Voraussetzung der Definition läßt sich leicht ableiten, das schwach kompakte Kardinalzahlen regulär sind. Sei $(\beta _{\alpha })_{\alpha <\lambda }$ eine aufsteigende Kette von Kardinalzahlen der Länge $\lambda$ deren Supremum $\kappa$ schwach kompakt ist. Die Kette teilt die die Menge $\kappa$ in $\lambda$ viele disjunkte Abschnitte. Zwei Elemente von $\kappa$ liegen dann entweder in dem selben Abschnitt oder in unterschiedlichen Abschnitten. Bezüglich dieser Aufteilung (Färbung) muss es dann eine homogene Teilmenge von $\kappa$ der Mächtigkeit $\kappa$ geben. Die Homogenität besagt, dass die Elemente entweder alle in dem gleichen Abschnitt liegen, oder alle in unterschiedlichen Abschnitten liegen. Also gibt es einen Abschnitt der größe $\kappa$ oder es gibt $\kappa$ viele Abschnitte. Somit ist $\beta _{\alpha }=\kappa$ für ein $\alpha$ oder es gilt $\lambda =\kappa$.

... ist starker Limes.

Um zu sehen, dass eine schwach kompakte Kardinalzahl $\kappa$ ein starker Limes ist, gehen wir von einem $\lambda <\kappa$ aus, für das $\kappa \leq 2^{\lambda }$. Wir betrachten die Menge $P$ aller $\{0,1\}$-wertigen Funktionen, zusammen mit der lexikographischen Ordnung $\prec$ auf dieser Menge. Da $P$ die Mächtigkeit $2^{\lambda }$ hat und $\kappa \leq 2^{\lambda }$, gibt es $\kappa$ viele verschiedene Elemente $f_{\alpha }\in {P}$ für $\alpha \in \kappa$. Vermutlich springt die Folge $(f_{\alpha })_{\alpha \in \kappa }$ in der linearen Ordnung $(P,\prec )$ wild auf und ab, das heißt für $\alpha <\beta$ ist mal $f_{\alpha }{\prec }f_{\beta }$ und mal $f_{\beta }{\prec }f_{\alpha }$ . Hier haben wir also wieder eine Färbung der zweielementigen Teilmgen von $\kappa$. Es gibt somit eine homogene Teilmenge $H$ von $\kappa$ mit der Mächtigkeit $\kappa$ sodaß die Folge $(f_{\alpha })_{\alpha {\in }H}$ durchgängig aufsteigent oder durchgängig absteigend in $(P,\prec )$ ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir von einer aufsteigenden Folge der Größe $\kappa$ ausgehen. Außerdem können wir davon ausgehen, dass die Folge $(f_{\alpha })_{\alpha \in \kappa }$ schon eine aufsteigende Folge ist. Für $\alpha \in \kappa$ ist dann $f_{\alpha }{\prec }f_{\alpha ^{+}}$ und $f_{\alpha }{\neq }f_{\alpha ^{+}}$. Jetzt erinnern wir uns daran, dass $f_{\alpha }$ eine Funktion von $\lambda$ nach $\{0,1\}$ ist. Es muss also ein $\sigma \in \lambda$ geben, sodass $f_{\alpha }(\sigma ){\neq }f_{\alpha ^{+}}(\sigma )$ . Sein nun $\sigma _{\alpha }$ das kleinste solche $\sigma$. Aus der Definition der lexikographische Ordnung folgt daraus, dass $f_{\alpha }(\sigma _{\alpha })=0$ und $f_{\alpha ^{+}}(\sigma _{\alpha })=1$

Messbare Kardinalzahl

Der Begriff der messbaren Kardinalzahl geht auf Stanisław Marcin Ulam zurück. Eine Kardinalzahl $\kappa$ nennt man messbar, wenn es ein nicht triviales $\kappa$-addtitives Maß $\{0,1\}$-wertiges Mass auf $\kappa$ gibt. Das ist eine Funktion $\mu$, die jeder Teilmenge von $\kappa$ das Mass $0$ oder $1$ zuordnet, und für die folgende Eingeschaften gelten.

• $\mu (X{\cup }Y)=\mu (X)+\mu (Y)$ wenn $X{\cap }Y=\emptyset$
• Die Vereinigung von weniger als $\kappa$ vielen Mengen mit Mass $0$ hat wieder das Mass $0$
• Einelementige Mengen haben das Mass $0$ und $\kappa$ hat das Mass $1$.

Man kann leicht einsehen, dass dann außerdem Folgendes gilt

• Alle Teilmengen von $\kappa$ mit Mächtigkeit $<\kappa$ haben Mass $0$
• Von disjunkten Teilmengen von $\kappa$ hat höchstens eine das Mass $1$
• Eine Teilmenge von $\kappa$ hat genau dann das Mass $1$, wenn das Komplement das Mass $0$ hat
• Der Durchschnitt von $\kappa$ vielen Mengen mit Mass $1$ hat wieder das Mass $1$

Eine messbare Kardinalzahl $\kappa$ muss regulär sein, denn wenn $\kappa$ die Vereinigung von weniger als $\kappa$ vielen Teilmengen der Mächtigkeit $<\kappa$ wäre, so würde sich für $\kappa$ das Mass $0$ berechnen. Wir wollen jetzt noch beweisen, dass $\kappa$ eine starke Limeskardinalzahl ist.

Aus der Annahme $\lambda <\kappa$ und $\kappa \leq 2^{\lambda }$ konstruieren wir einen Widerspruch zur Messbarkeit von $\kappa$. Dazu betrachten wir die Menge $W$ der Funtionen $x\colon \lambda \to \{0,1\}$. $W$ stellt man sich als $\lambda$-dimensionalen Würfel vor, der pro "Richtung" $\alpha \in \lambda$ in die zwei Hälften $H_{\alpha }^{0}=\{x{\in }P:x(\alpha )=0\}$ und $H_{\alpha }^{1}=\{x{\in }P:x(\alpha )=1\}$ zerfällt. Wählt man pro $\alpha$ eine Hälfte aus, so ist der Durchschnitt genau eine Ecke des Würfels. Formal bedeutet das

$\bigcap _{\alpha \in \lambda }H_{\alpha }^{x(\alpha )}=\{x\}$ für jedes $x{\in }P$

Da $\kappa \leq 2^{\lambda }$ gibt es eine Teilmenge $M$ von $W$ mit der Mächtigkeit $\kappa$ und da $\kappa$ messbar ist gehen wir von einem entsprechenden Mass $\mu$ auf der Menge $M$ aus. Wir definieren mit Hilfe von $\mu$ ein spezielles $x{\in }W$ durch $x(\alpha )=\mu (M{\cap }H_{\alpha }^{1})$. Dann bedeutet $x(\alpha )=1$, dass $M{\cap }H_{\alpha }^{1}$ das Maß $1$ hat und $x(\alpha )=0$ bedeutet, dass $M{\cap }H_{\alpha }^{0}$ das Maß $1$ hat. Die Mengen $M{\cap }H_{\alpha }^{x(\alpha )}$ haben also immer das Mass $1$. Da $\lambda <\kappa$ muss auch der Durchschnitt $M\cap \bigcap _{\alpha \in \lambda }H_{\alpha }^{x(\alpha )}$ das Mass $1$ haben. Dieser Durchschnitt kann aber höchstens das Element x enthalten und hat somit das Mass $0$. Es ist also bewiesen, dass messbare Kardinalzahlen stark unerreichbar sind.