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Beispiel 2

von Integration durch Substitution

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x$:

Durch die Substitution $t=\varphi (x)=x^{2}+1$ erhält man $\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x$ bzw. $x\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} t$ und damit

$\int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm {d} t$

$={\frac {1}{2}}\left[\sin(t)\right]_{\varphi (0)}^{\varphi (2)}={\frac {1}{2}}\left[\sin(x^{2}+1)\right]_{0}^{2}$

$={\frac {1}{2}}\left(\sin(5)-\sin(1)\right).$

Es wird also $x^{2}+1$ durch $t$ ersetzt und $x\mathrm {d} x$ durch ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} t$. Die untere Grenze des Integrals $x=0$ wird dabei in $t=0^{2}+1=1$ umgewandelt und die obere Grenze $x=2$ in $t=2^{2}+1=5$.