Benutzer:Blaues-Monsterle/Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten

In der modernen Physik existieren zwei allgemein anerkannte Theoriegebäude: Das Standardmodell der Teilchenphysik, dessen Basis die Quantenfeldtheorien bilden und das die Prozesse im Mikroskopischen, insbesondere die starke, schwache und die elektromagnetische Kraft in einer flachen vierdimensionalen Raumzeit mit hoher Präzision als Austausch von virtuellen Teilchen beschreibt, und die Allgemeine Relativitätstheorie, die die Gravitation als geometrische Eigenschaft einer gekrümmten Raumzeit beschreibt. Die Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten sind eine Verallgemeinerung der Quantenfeldtheorien von einer flachen auf eine gekrümmte Raumzeit. Sie stellen explizit weder eine Theorie der Quantisierung von Gravitation (siehe auch: Graviton) noch eine Vereinheitlichung von Standardmodell und Gravitation dar, sondern sind als Grenzfall einer Schleifenquantengravitation im Limes niedriger Energien anzusehen.

Quantenfeldtheorien in gekrümmten Raumzeiten finden überall dort Anwendung, wo Elementarteilchenphysik und Astrophysik oder Kosmologie aufeinanderstoßen, insbesondere im Bereich der Beschreibung schwarzer Löcher oder der kosmologischen Inflation als Stadium kurz nach der Entstehung des Universums.

Formulierung

Überwindung der Minkowski-Metrik

Der Übergang von einer flachen Raumzeit zu einer gekrümmten lässt sich im Allgemeinen dadurch erreichen, dass der metrische Tensor der Minkowski-Raumzeit $\eta _{\mu \nu }$ durch eine Metrik $g_{\mu \nu }$ ersetzt wird, die den einsteinschen Feldgleichungen gehorcht. Diese wird im Rahmen der Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten jedoch nur als „Hintergrundmetrik“ angenommen, das heißt, analog zum Übergang von der klassischen Elektrdynamik zur Quantenmechanik in externen Feldern, sollen die im Rahmen der Theorie stattfindenden Effekte keinen Einfluss auf die Metrik (Analogie: das äußere Feld) selbst besitzen.

Durch die Ersetzung der flachen Minkowski-Metrik durch eine generelle muss jedoch auch das Volumenelement $\mathrm {d} V=\mathrm {d} ^{n}x$ durch ein generelles $\mathrm {d} V={\sqrt {\det(g_{\mu \nu })}}\mathrm {d} ^{n}x$ sowie die partielle Ableitung $\partial _{\mu }$ durch eine kovariante Ableitung $\nabla _{\mu }$ ersetzt werden, damit die Wirkung als fundamentale Größe der Quantenfeldtheorien unter einer generellen Koordinatentransformation invariant bleibt. Für ein beliebiges Feld $\phi$ muss also gelten:

$S\left[\phi '(x'),\nabla '_{\mu }\phi '(x'),g'_{\mu \nu }(x')\right]=S\left[\phi (x),\nabla _{\mu }\phi (x),g_{\mu \nu }(x)\right]$

Lagrangedichte, Bewegungsgleichungen, Energieerhaltung

Die Lagrangedichte ist wie üblich durch

$S=\int \mathrm {d} ^{n}x{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla _{\mu }\phi ,g_{\mu \nu })$

gegeben und die Bewegungsgleichungen basieren auf dem klassischen Hamilton’schen Prinzip („Prinzip der kleinsten Wirkung“)

$\delta S=0$

Betrachtet man unabhängig voneinander die Variation der Wirkung nach den Feldern $\phi$ und die nach dem metrischen Tensor, so folgt aus ersterem die Euler-Lagrange-Gleichung zu:

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \phi }}$

Aus der Variation der Wirkung nach einem metrischen Tensor, die durch eine Koordinatentransformation induziert wird, folgt, dass

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=\nabla _{\mu }{\frac {2}{\sqrt {\det g_{\mu \nu }}}}{\frac {\partial S}{\partial g_{\mu \nu }}}=0$

gelten muss.

Siehe auch

• Quantenfeldtheorie
• Allgemeine Relativitätstheorie
• Schleifenquantengravitation

Literatur

Leonard E. Parker und David J. Toms: Quantum Field Theory in Curved Spacetime. Cambridge University Press, New York 2009. ISBN 987-0-521-87787-9.