Benutzer:Blubberdi/Spielwiese/Streuamplitude

Die Streuamplitude ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )$ ist über den S-Operator $S$ definiert:

$\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;,$

wobei $|\mathbf {p} \rangle$ und $\langle \mathbf {p'} |$ Eigenzustände des Impulsoperators sind. Die Streuamplitude $f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )$ ist nur für $E_{\mathbf {p'} }=E_{\mathbf {p} }$ bzw. $|\mathbf {p'} |=|\mathbf {p} |$ definiert, weil $\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })$ für $E_{\mathbf {p'} }\neq E_{\mathbf {p} }$ null ist. Weiterhin ist der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen. Deshalb kann die Streuamplitude auch als Funktion von der Energie des eingehenden Zustands $E_{\mathbf {p} }$ sowie des Winkels $\vartheta$ zwischen $\mathbf {p}$ und $\mathbf {p'}$ geschrieben werden.

Im folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird.

${\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}}$

Wenn für die eingehende Welle $\psi _{in}$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies folgendes:

$\psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\theta ){\frac {e^{ipr}}{r}}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.$

Zu dem totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{tot}=\frac{4\pi}{k}~\mathrm{Im}\,f(0)}

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) f_\ell(k) P_\ell(\cos(\theta)) \;,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell(k)} die partielle Streuamplitude, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_\ell(\cos(\theta))} das Legendre-Polynom und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell} der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_\ell=e^{2i\delta_\ell}} und die Streuphase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_\ell} ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.}

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell} , das S-matrix Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_\ell=e^{2i\delta_\ell}} und die Streuphase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_\ell} implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} sind.

Die Streulänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\ell} kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell(p)\xrightarrow[p\rightarrow0]{}-a_\ell p^{2\ell}}

Gewöhnlich wird aber nur die s-Wellen Streulänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0} als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.