Benutzer:Bradcoo/Spielwiese

Hebungsbaum

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel, um das Verhalten eines Polynoms $f(X)\in Z[X]$, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo $p^{k}$ des Polynoms zu verstehen. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Bezeichnung

Sei $f(X)\in Z[X]$ ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei $k\geq 1$ die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei $a\in Z$. Ist $f(a)\equiv 0\mod p^{k}$, so sagen wir, $a$ ist eine Nullstelle von f(X) in $Z/p^{k}$ oder modulo $p^{k}$.

Sei $a\in Z$ eine Nullstelle von $f(X)$ modulo $p^{k}$. Sei $l\geq 1$ . Ist $b\in Z$ eine Nullstelle von f(X) modulo $p^{k+l}$ und ist $b\equiv a\mod p^{k}$ , dann sagen wir, dass $b$ eine Nullstelle modulo $p^{k+l}$ ist, die die Nullstelle a modulo $p^{k}$ hebt.

Beschreibung

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in $Z/p^{k}$ eingetragen, wobei $k\in \mathbb {Z}$ die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem $k$ wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene ($k=1$) werden alle Nullstellen des Polynoms in $Z/p$ eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall $[0,p-1]$ an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene ($k=2$) werden alle Nullstellen des Polynoms in $Z/p^{2}$ eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall $[0,p^{2}-1]$ an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in $Z/p$, so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene ($k=3$) werden alle Nullstellen des Polynoms in $Z/p^{3}$ eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall $[0,p^{3}-1]$ an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in $Z/p^{2}$, so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen $k\in \mathbb {Z}$.

Beispiel

Sei das Polynom

$f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1$

gegeben. Sei $p=5$ prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

Beispiel zu dem Polynom $f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1$

In der ersten Ebene ($k=1$) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall $[0,4]$. In der zweiten Ebene ($k=2$) sind die Nullstellen 3,8,13,18 und 23 in dem Intervall $[0,24]$ vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene ($k=3$) sehen wir die Nullstellen 8,33,58,83 und 108 in dem Intervall $[0,124]$. Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle $a=3$ in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle $a=3$ aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Quellen

• "Zahlentheorie - Algebraische Zahlen und Funktionen" von Helmut Koch, Verlag: Vieweg, 1997
• http://www.iaz.uni-stuttgart.de/LstZahltheo/Kuenzer/compprak/copra.pdf