Benutzer:CoTangent/Pro-Lie-Gruppe

Eine Pro-Lie-Gruppe ist in der Mathematik eine topologische Gruppe, die sich in gewisser Weise als Grenzwert von Lie-Gruppen schreiben lässt.

Die Klasse aller Pro-Lie-Gruppen enthält alle Lie-Gruppen, kompakte Gruppen, zusammenhängende lokalkompakte Gruppen, ist aber abgeschlossen unter beliebigen Produkten, was sie oft einfacher zu handhaben macht als beispielsweise die Klasse der lokalkompakten Gruppen. Lokalkompakte Pro-Lie-Gruppen sind seit der Lösung des fünften Hilbertschen Problems durch Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin bekannt, die Erweiterung auf nichtlokalkompakte Pro-Lie-Gruppen ist im Wesentlichen durch das Buch The Lie-Theory of Connected Pro-Lie Groups von Karl Heinrich Hofmann und Sidney Morris zurückzuführen, hat aber inzwischen auch viele Autoren angezogen.

Definition

Eine Topologische Gruppe ist eine Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} mit Verknüpfung $\cdot$ und neutralem Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} versehen mit einer Topologie, sodass sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot\colon G\times G\to G} (mit der Produkttopologie auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\times G} ) als auch die Inversenbildung $x\mapsto x^{-1}$ stetig sind. Eine Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe, auf der es zusätzlich eine differenzierbare Struktur gibt, sodass die Multiplikation und Inversenbildung glatt ist. Eine solche Struktur ist - falls sie existiert - immer eindeutig.

Eine topologische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist genau dann eine Pro-Lie-Gruppe, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

• Die Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist der projektive Limes von einer Familie von Lie-Gruppen, genommen in der Kategorie der topologischen Gruppen.
• Die Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist topologisch isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe eines (eventuell unendlichen) Produktes von Lie-Gruppen.
• Die Gruppe ist vollständig (bzgl. ihrer linken uniformen Sturktur) und jede offene Umgebung $U$ des Eins-Elementes der Gruppe enthält einen abgeschlossenen Normalteiler $N\subseteq U$, sodass die Quotientengruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G/N} eine Lie-Gruppe ist.

Man beachte, dass in diesem Artikel - sowie in der Pro-Lie-Literatur - eine Lie-Gruppe immer endlichdimensional und hausdorffsch ist, aber nicht zweitabzählbar sein muss. Insbesondere sind also überabzählbare diskrete Gruppen nach dieser Terminologie (nulldimensionale) Lie-Gruppen und somit insbesondere Pro-Lie-Gruppen.

Beispiele

• Jede Lie-Gruppe ist eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede endliche Gruppe wird mit der diskreten Topologie zu einer (nulldimensionalen) Lie-Gruppe und somit insbesondere zu einer Pro-Lie-Gruppe.
• Jede proendliche Gruppe ist somit eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede kompakte Gruppe lässt sich in ein Produkt von (endlichdimensionalen) unitären Gruppen einbetten und ist somit eine Pro-Lie-Gruppe.
• Jede lokalkompakte Gruppe besitzt eine offene Untergruppe, die eine Pro-Lie-Gruppe ist, insbesondere ist jede zusammenhängende lokalkompakte Gruppe eine Pro-Lie-Gruppe.
• Die Butcher-Gruppe aus der Numerik ist eine Pro-Lie-Gruppe, die nicht lokalkompakt ist.
• Allgemeiner ist jede Charaktergruppe einer (reellen oder komplexen) Hopf-Algebra eine Pro-Lie-Gruppe, die in vielen interessanten Fällen nicht lokalkompakt ist.
• Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^J} aller reellwertigen Funktionen von einer Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J} ist mit der punktweisen Addition und der Topologie der punktweisen Konvergenz (Produkttopologie) eine abelsche Pro-Lie-Gruppe.

Literatur

• Karl H. Hofmann, Sidney Morris: The Lie-Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society (EMS), Zürich , ISBN 978-3-03719-032-6.