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Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Datei:Parabel vierter ordnung.png

Graph

Vorgaben

Eine Parabel 4. Ordnung hat in $O(0\vert 0)$ und im Wendepunkt $W(-2\vert 2)$ Tangenten parallel zur x-Achse.

Allgemeine Funktion

Parabeln 4. Ordnung haben folgende allgemeine Funktionsgleichung:

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

Ableitungen

${\begin{matrix}f'(x)&=&4ax^{3}&+&3bx^{2}&+&2cx&+&d\\f''(x)&=&12ax^{2}&+&6bx&+&2c\end{matrix}}$

Problem

Wie lässt sich die Funktion $f(x)$ eindeutig definieren?

Bedingungen

$\left.{\begin{matrix}O(0\vert 0)&\Rightarrow &f(0)&=0\\W(-2\vert 2)&\Rightarrow &f(-2)&=2\end{matrix}}\right\}{\mbox{Schnittpunkte}}$

$O(0\vert 0)\Rightarrow f'(0)=0,\quad {\mbox{da Extrem-/Wendepunkt}}$

$W(-2\vert 2)\Rightarrow {\begin{Bmatrix}f'(-2)=0,&{\mbox{da Tangente parallel zur x-Achse}}\\f''(-2)=0,&{\mbox{da Wendepunkt}}\end{Bmatrix}}$

Glieder $e$und $dx$ sind $0$. Sie beeinflussen den Graphen nicht:

$f(0)=0\Rightarrow e=0$

${\begin{matrix}f'(x)=&0&=&ax^{3}&+&bx^{2}&+&cx&+&d\\f'(0)=&0&=&a0^{3}&+&b0^{2}&+&c0&+&d\\\ &0&=&d&\Rightarrow d=0\end{matrix}}$

Gleichungssystem

Nachdem die Bedingungen nun feststehen, werden sie nacheinander auf die vereinfachte allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}$ angewandt. Im Folgenden wird nur eine dieser Einsetzungen ausfuehrlich beschrieben, die anderen in gekuerzter Form.

${\begin{matrix}f''(-2)=&0&=&12a(-2)^{2}&+&6b(-2)&+&2c\\\ &0&=&48a&-&12b&+&2c&\vert :2\\\mathrm {I} &0&=&24a&-&6b&+&c\\\\f'(-2)=&0&=&4a(-2)^{3}&+&3b(-2)^{2}&+&2c(-2)\\\mathrm {II} &0&=&-32a&+&12b&-&4c\\\\f(-2)=&2&=&a(-2)^{4}&+&b(-2)^{3}&+&c(-2)^{2}\\\mathrm {III} &1&=&8a&-&4b&+&2c\end{matrix}}$

Additionsverfahren

Die Gleichungen $\mathrm {I}$ bis $\mathrm {III}$ sind aufgestellt.

${\begin{vmatrix}0&=&24a&-&6b&+&c\\0&=&-32a&+&12b&-&4c\\1&=&8a&-&4b&+&2c\end{vmatrix}}$

Nun werden per Additionsverfahren so lange Variablen eliminiert, bis der Wert einer einzelnen Variable bekannt ist. Diese wird im zweiten Schritt nacheinander in Gleichungen eingesetzt, um auch die anderen unbekannten Variablen zu bestimmen. Der Hergang des Verfahrens sollte sich von selbst verstehen, daher wird an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen.

$a={\frac {3}{8}};b=2;c=3;d=0;e=0$

Funktionsgleichung f(x)

$f(x)={\frac {3}{8}}x^{4}+2x^{3}+3x^{2}$