Benutzer:Digamma/Spielwiese

To Do

Quadrik (erl.)

Wurde inzwischen von Quartl überarbeitet.  Ok

Differenzierbarkeit:

• Beispiele

• eine Variable:

• Knick, eins. Grenzwerte existieren nicht
• best. Divergent (Wurzel)
• Grenzwerte existieren nicht ($x\sin {\tfrac {1}{x}}$)
• diffbar, Abl nicht stetig: überarbeiten nach Differentialrechnung (Form),
  

• mehrere Variablen:

• partiell diffbar, aber nicht alle Richtungsableitungen
• Richtungsableitungen nur einseitig
• alle Richtungsableitung, aber nicht total
• total aber Ableitung nicht stetig

• Ergänzung zu mehrere Variablen: Richtungsableitung linear total(?)
• unendl-dim VR:

• keine Koordianten → keine partielle Diffbarkeit
• Gateaux (entspricht Richtungsableitung) Voraussetzungen an die Räume? Sprechweisen (1. Variation)?
• Frechet (entspricht total) Voraussetzungen an die Räume?
• jeweils Verweise auf Hauptartikel, Unterschiede zu endl-dim.
• Zusammenhänge

• neu: Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (bzw. Funktionen auf Mfg.en)

• nur: was ist das? (keine Ableitung, Verweis)

Fast alles erledigt bis auf:

• Beispiel für total diffbar aber nicht stetig diffbar: nicht unbedingt nötig: erledigt
• Bilder mit Graphen zu den Beispielen a la http://komplexify.com/blog/2009/11/21/one-of-my-favorite-counterexamples/ angefragt
• Funktionen einer Variablen: Problemstellung mit Tangente. Zwei Versionen: Sekantensteigung; lineare Approximation;;Verschiedene Formulierungen der linearen Approxi?

Differenzierbare Mannigfaltigkeit

• Differenzierbare Abbildung/Funktion einbauen: i. W. Übernehmen aus Differenzierbarkeit
• Kurz zu Untermannigfaltigkeit

erledigt

Euklidischer Raum

• Übergang zu höherer Dimension: erledigt
• Punktraum: erledigt bis auf Bild P -> Q -> R erledigt
• Koordinatenraum: Anschluss an Punktraum und Vektorraum; Standardmodell

erledigt

neu: Totale Ableitung

• wann und wo?
• was soll das?
• Definitionen und Schreibweisen
• Beispiele
• Spezialfall: totales Differenzial
• Verallgemeinerung: Differenzierbarkeit Mannigfaltigkeit

Totales Differenzial

• Abgrenzung:

• partielle Ableitung vs. totale bei Funktion, die explizit und implizit von t abhängt (Physik), Bsp: Funktion von Ort und Zeit, die für bewegten Körper betrachtet wird. erl
• totales Differential einer Funktion mehrerer Veränderlichen als (formale) Differentialform

• Gebrauch in der Thermodynamik? fehlt noch
• Integrabilität. OK

• totale Ableitung zwischen VRen und zw. Mgfkten. OK

• Ergänzen bei Mannigfaltigkeiten: totales Differential ist Differentialform (1-Form) erl

Partielle Ableitung

• Substantiellere Rechenbeispiele
• Zusammenhang mit Richtungsableitung und totaler Ableitung (Der "Gradient" ergibt nur dann einen Sinn, wenn die Funktion total differenzierbar ist). Genaueres über die Abgrenzung der verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffe werden aber im Artikel Differenzierbarkeit abgehandelt.
• Höhere partielle Ableitungen, mit
  • Definition
  • Satz von Schwarz
  • Hesseform, Hessematrix
  • Beispiele
  • Taylorformel, Taylorreihe (nur kurz)
• Anwendung für die Bestimmung von Extremwerten
  • notwendige Bedingung
  • hinreichende Bedingung (nur: Hessematrix definit)
  • kein Maximum wenn Hesseform indefinit
• Erweiterung für Funktionen (Abbildungen) mit Werten in $\mathbb {R} ^{m}$, Jacobi-Matrix
• Verallgemeinerung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Richtungsableitung

1. Das Beispiel müsste überarbeitet werden. Oder ganz wegfallen. Ein Beispiel für eine Funktion von zwei Variablen, bei der einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber nicht die beidseitigen, findet sich in Differenzierbarkeit. (Dort fehlt allerdings noch eine Illustration). Der Vergleich mit der einseitigen Ableitungen bei Funktionen einer Variablen ist schwierig, weil die Linksseitige Ableitung $f_{-}^{\prime }$ sich von der linksseitigen Richtungsableitung $D_{-1}f$ im Vorzeichen unterscheidet.
2. Stattdessen Beispiele für die Berechnung von Richtungsableitungen
3. Eine Definition für vektorwertige Funktionen.
4. Die Richtungsableitung als Differentialoperator (Derivation) und der Zusammenhang mit
5. Richtungsableitung für Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Tangentialvektoren als Richtungsableitungen.
6. Hinweis auf Verallgemeinerung: Kovariante Ableitung

Skalarprodukt

Gliederung:

1. Im euklidischen Raum
   1. Geometrisch
   2. In kartesischen Koordinaten
2. Das Standardskalarprodukt
   1. im R^n
      1. Längen (Norm), Winkel und Abstände
   2. im C^n
      1. Längen (Norm) und Abstände
3. Allgemein
   1. Definition
      1. reell
      2. komplex
      3. Norm, Winkel, Abstände
   2. Weitere Beispiele
   3. Dastellung in Koordinaten (evtl. 2 und 3 vertauschen)

Schnipsel

Beispiel für Vektorraum - geometrische Vektoren

Geometrische Vektoren beschreiben Verschiebungen im Anschauungsraum oder in der Ebene und werden durch Pfeile dargestellt. Dabei stellen Pfeile, die gleichgerichtet parallel und gleich lang sind, denselben Vektor dar.

bisherige Version:

Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale Euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ (in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

${\vec {v}}=(2,3)$ ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,

${\vec {w}}=(3,-5)$ die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung, und zwar diejenige Verschiebung, die man erhält, indem man die beiden Verschiebungen nacheinander ausführt:

${\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)$, d. h. die Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor ${\vec {0}}=(0,0)$ entspricht der Verschiebung, die alle Punkte an ihrem Platz belässt, d. h. der identischen Abbildung.

Durch die Streckung der Verschiebung ${\vec {v}}$ mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

$a\cdot {\vec {v}}=3\cdot (2,3)=(6,9)$.

Alles zu diesem Beispiel gesagte gilt auch in der reellen affinen Ebene.

---

Richtungsableitung In diesem Fall unterscheiden manche Autoren zwischen der Ableitung entlang eines Vektors ${\vec {v}}$ und der Richtungsableitung in Richtung von ${\vec {v}}$.

in Partielle Ableitung einbauen !? Anpassen. Es geht nicht um Existenz, sondern um verschiedene Formulierungen und Schreibweisen. Ergänzen.

Partielle Differenzierbarkeit

Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. Betrachtet man alle Variablen bis auf eine, $x_{i}$, als konstant, so erhält man eine Funktion einer Veränderlichen:

$g_{a}\colon x_{i}\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\dots ,a_{n})$

Ist diese Funktion differenzierbar, so heißt $f$ partiell differenzierbar in Richtung $x_{i}$ und die entsprechende Ableitung heißt partielle Ableitung nach $x_{i}$ im Punkt $a$ :

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=g_{a}'(a_{i})&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a)}{h}}\\&=\lim _{x_{i}\to a_{i}}{\frac {f(a_{1},\dots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a)}{x_{i}-a_{i}}}\end{aligned}}$

Andere Möglichkeiten, die Definition zu schreiben, sind:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+te_{i})-f(a)}{t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=0}f(a+te_{i})$

Dabei ist $e_{i}$ der Einheitsvektor in Richtung der $i$-ten Koordinate, $e_{i}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ Andere Schreibweisen für die partiellen Ableitungen von $f$ im Punkt $a$ sind

$f_{x_{i}}(a),D_{i}f(a),D_{x_{i}}f(a),\partial _{i}f(a)$

Die Funktion $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt alle partiellen Ableitungen existieren.

„Differenzierbar“ bedeutet hier immer „$r$-mal stetig differenzierbar“, wobei $r$ eine natürliche Zahl oder unendlich ist.

Gegenbeispiele

Alle Beispiele sind Funktionen auf dem $\mathbb {R} ^{2}$. Die Koordinaten werden mit $x$ und $y$ bezeichnet statt mit $x_{1}$ und $x_{2}$. Von Interesse ist hier nur die Differenzierbarkeit und Stetigkeit am Ursprung $(0,0)$. Überall sonst sind die Funktionen stetig differenzierbar.

Beispiel 1

Die Funktion

$f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar. Auf den Koordinatenachsen hat die Funktion konstant den Wert 0, das heißt für alle x und y gilt

$f(x,0)=f(0,y)=0$.

Daraus folgt

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$.

Die Funktion ist jedoch bei (0,0) nicht stetig. Auf der ersten Winkelhalbierenden (mit Ausnahme des Ursprungs) hat $f$ konstant den Wert eins ($f(t,t)=1$). Nähert man sich dem Ursprung auf der ersten Winkelhalbierenden, so streben die Funktionswerte also gegen 1. Die Richtungsableitung in andere Richtungen als die der Koordinatenachsen existieren nicht.

Beispiel 2

Die Normfunktion

$f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

verallgemeinert die Betragsfunktion. Sie ist überall stetig.

Für jeden Einheitsvektor $v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ existiert die einseitige Richtungsableitung von $f$ in $(0,0)$ und es gilt

$D_{v}f(0,0)=\lim _{h\searrow 0}{\frac {\sqrt {(hv_{1})^{2}+(hv_{2})^{2}}}{h}}={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}=1$

Die beidseitigen Richtungsableitungen existieren jedoch nicht, denn sonst müsste $D_{-v}f(0,0)=-D_{v}f(0,0)$ gelten. Insbesondere ist die Funktion auch nicht partiell differenzierbar.

Beispiel 3

$f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {xy^{3}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

Hier existieren alle Richtungsableitungen, für jeden Vektor $v\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt $D_{v}f(0,0)=0$. Insbesondere ist $f$ partiell differenzierbar mit

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$

und die Abbildung

$v\mapsto D_{v}f(0,0)=0$

ist die Nullabbildung, also trivialerweise linear.

Die Funktion ist auch stetig. Sie ist jedoch an der Stelle (0,0) nicht total differenzierbar. Wäre sie es, so wäre $L=Df(0,0)$ die Nullabbildung und für jeden Vektor $v=(v_{1},v_{2})$ gälte

$f(v_{1},v_{2})=f(0,0)+L(v_{1},v_{2})+r(v_{1},v_{2})=0+0+r(v_{1},v_{2})$.

Für das Fehlerglied $r(v)=r(v_{1},f_{2})$ gälte also

$r(v_{1},v_{2})={\frac {v_{1}v_{2}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{4}}}$.

Setzt man $v_{1}=h^{2}$ und $v_{2}=h$ mit $h>0$, so erhält man

$r(v)={\frac {h^{2}h^{3}}{h^{4}+h^{4}}}={\frac {h}{2}}$ und $|h|={\sqrt {h^{4}+h^{2}}}=h{\sqrt {1+h^{2}}}$, also ${\frac {r(h)}{|h|}}={\frac {1}{2{\sqrt {1+h^{2}}}}}$.

Für $h$ gegen 0 geht dieser Term gegen ${\tfrac {1}{2}}$ statt gegen 0.

In Arbeit

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

→ Hauptartikel: Riemannsche Mannigfaltigkeit

Um auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit von Längen, Abständen, Winkeln und Volumen zu sprechen, benötigt man eine zusätzliche Struktur. Eine Riemannsche Metrik (auch Metrischer Tensor genannt) definiert im Tangentialraum jedes Punktes der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit eine Riemannschen Metrik heißt Riemannsche Mannigfaltigkeit. Durch die Skalarprodukte sind zunächst Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren definiert, davon ausgehend dann auch Längen von Kurven und Abstände zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit.

Ist statt eines Skalarprodukts in jedem Tangentialraum nur eine (nicht notwendig symmetrische) Norm definiert, so spricht man von einer Finsler-Metrik und einer Finsler-Mannigfaltigkeit. Auf Finsler-Mannigfaltigkeiten sind Längen und Abstände definiert, nicht aber Winkel.

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

→ Hauptartikel: Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine andere Verallgemeinerungen von Riemannschen Mannigfaltigkeiten sind Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (auch Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten genannt), die zum Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten.

Hier braucht die durch die Metrik in jedem Tangentialraum definierte symmetrische Bilinearform nicht positiv definit zu sein, sondern nur nicht-ausgeartet. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester lässt sich eine solche Bilinearform als Diagonalmatrix mit Einträgen von $\pm 1$ darstellen. Sind dann $r$ Einträge +1 und $s$ Einträge -1, spricht man von einer Metrik mit Signatur $(r,s)$. Ist die Signatur der Metrik $(1,m-1)$, wobei $m$ die Dimension der Mannigfaltigkeit ist, spricht man von einer Lorentz-Mannigfaltigkeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raum-Zeit durch eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit modelliert.

Abbildungsmatrix

Sind $V$ und $W$ endlichdimensional, $\dim V=n$, $\dim W=m$, und sind Basen $B=\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ von $V$ und $B'=\{b_{1}',\dots ,b_{m}'\}$ von $W$ gegeben, so kann jede lineare Abbildung $f\colon V\to W$ durch eine $m\times n$-Matrix $M_{B'}^{B}(f)$ dargestellt werden. Diese erhält man wie folgt: Für jeden Basisvektor $b_{j}$ aus $B$ lässt sich der Bildvektor $f(b_{j})$ als Linearkombination der Basisvektoren $b_{1}',\dots ,b_{m}'$ darstellen:

$f(b_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}'$

Die $a_{ij}$, $i=1,\dots ,m$, $j=1,\dots ,n$ bilden die Einträge der Matrix $M_{B'}^{B}(f)$:

$M_{B'}^{B}(f)={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

In der $j$-ten Spalte stehen also die Koordinaten von $f(b_{j})$ bezüglich der Basis $B'$.

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $f(v)$ jedes Vektors $v=v_{1}b_{1}+\dots +v_{n}b_{n}\in V$ berechnen:

$f(v)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}f(b_{j})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}'\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)b_{i}'$.

Für die Koordinaten $w_{1},\dots ,w_{n}$ von $f(v)$ bezüglich $B'$ gilt also

$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$.

Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrücken:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

Die Matrix $M_{B'}^{B}(f)$ heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von $f$. Eine andere Schreibweise für $M_{B'}^{B}(f)$ ist $_{B'}[f]_{B}$.

Vektor

Unter einem Vektor (lat.: vector = „Träger“, „jemand, der zieht/befördert“; zu lat.: vehere = „[etwas/jemanden] fahren/transportieren“) versteht man im engeren Sinn in der analytischen Geometrie ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Eng verwandt mit diesen geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

In der linearen Algebra wird der Begriff des Vektors sehr viel allgemeiner gefasst. Im allgemeinen Sinn ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das mit anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann.

Arithmetische Differenz

Als arithmetische Differenz wird manchmal eine besondere Form der Differenz bezeichnet, die verwendet wird, wenn keine negativen Differenzen gültig sein sollen. Man beachte, dass weder dieser Begriff noch die unten angegebene Notation in der Mathematik allgemein verbreitet sind.

Definition

Für zwei natürliche Zahlen $m$ und $n$ ist die arithmetische Differenz folgendermaßen definiert:

$m\,{\dot {-}}\,n={\begin{cases}m-n&\mathrm {falls} \ m\geq n\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Anstelle des üblichen Minuszeichens wird wie hier gelegentlich ein Minuszeichen mit obenstehendem Punkt verwendet.

Sonnenzeit

Die Sonnenzeit ist ein Zeitmaß, das auf der scheinbaren täglichen Bewegung der Sonne am Himmel beruht.

Le temps solaire ou temps vrai est une mesure du temps basée sur le déplacement apparent du soleil au cours de la journée. Le temps solaire en un lieu et à un moment donnés est l'angle horaire du soleil en ce lieu et à ce moment. En découle la définition du midi solaire : c'est l'instant où le Soleil atteint son point de culmination, en un endroit donné de la Terre ; à cet instant, son angle horaire est égal à zéro. (aus fr:Temps solaire)

Kugelkoordinaten

Anschauliche Erklärung fehlt bisher (d.h. ohne Bezug auf die Umrechnung in kartesische Koordinaten). 
Außerdem Bezug zu geografischen Koordinaten (auf einer Kugel) und Himmelskoordinaten.

Test

Hier drei Leerzeichen. Und?

und.

Hier drei Leerzeichen. Und?

und.