Benutzer:Erzbischof/ASP

Als gepaarte Stichproben oder auch verbundene oder abhängige Stichproben bezeichnet man in der Statistik, wenn bei der Stichprobennahme Paare von Individuen mit ähnlichen Eigenschaften ausgewählt werden, um an ihnen unterschiedliche Verfahren zu erproben oder Merkmale zu testen; oder verschiedene Verfahren werden nacheinander am gleichen Individuum durchgeführt.

Ein Beispiel aus der Praxis ist die mehrmals durchgeführte Anwendung von zwei verschiedenen Präparaten in jeweils unterschiedlichen Regionen einzelner Blätter von Tabakpflanzen, um Unterschiede in der Schädlichkeit der Präparate anhand der lokalen Braunfärbung zu messen. Ein weiteres Beispiel sind sogenannte Zwillingsstudien.

Information über geeignete Paarungen von Individuen kann ein vorgeschalteter Test liefern, dabei paart man idealerweise anhand einer Variable, die einen hohen Einfluss auf die Messungen hat.

Definition

Zwei Stichproben $(X_{1},\cdots ,X_{n})$ $(Y_{1},\cdots ,Y_{m})$ sind unabhängig, wenn sämtliche mögliche Paare $X_{i},Y_{j}$ unabhängig sind. Man spricht von gepaarten Stichproben, wenn eine umkehrbar eindeutige Zuordnung $i\leftrightarrow j=j(i)$ zu bestimmten Paaren $(X_{i},Y_{j(i)})$ existiert (also insbesondere $n=m$) und wenn diese Paare voneinander unabhängig und identisch verteilt sind. Es dürfen also innerhalb der Paare Abhängigkeiten bestehen, nicht jedoch zwischen den Paaren.

Differenzen-Tests für unterschiedliche Populationsmittel

Bei metrisch skalierten Merkmalen liefern die Paar-Differenzen Informationen über die Unterschiede der Populationsmittel ${\bar {X}},{\bar {Y}}$. Man betrachtet die Paar-Differenzen $\Delta _{i}=X_{i}-Y_{j(i)}$, deren Mittel entspricht der Differenz der Populationsmittel:

${\bar {\Delta }}={\frac {1}{n}}\sum _{i}(X_{i}-Y_{j(i)})={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{i}Y_{j(i)}={\bar {X}}-{\bar {Y}}$,

Ziel ist es, durch die Paarung störende Einflüsse und Streuungen zwischen den Merkmalen der einzelnen Strichproben herauszurechnen; oder die Paarbildung ist durch die Fragestellung geben. Jedoch verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade, was bei kleinem Stichprobenumfang eine Rolle spielen kann. Voraussetzung ist, dass sich die Paar-Differenzen als unabhängige Stichprobe auffassen lassen können. Zu den Differenzen-Test gehört der t-Test für gepaarte Stichproben.

Bei der der Betrachtung der Varianz zeigen sich Unterschiede:

${\begin{array}{ccl}\operatorname {Var} ({\bar {\Delta }})&=&{\operatorname {Var} }({\bar {X}}-{\bar {Y}})\\&=&{\operatorname {Var} }({\bar {X}})+{\rm {var}}({\bar {Y}})-2{\operatorname {Cov} }({\bar {X}},{\bar {Y}})\\&=&\sigma _{1}^{2}/n+\sigma _{2}^{2}/n-2\sigma _{1}\sigma _{2}\operatorname {Corr} (X_{1},Y_{j(1)})/n,\end{array}}.$

Die Varianz von ${\bar {\Delta }}$ ist also niedriger als die Varianz der Stichproben, wenn positive Korrelationen existieren.

Siehe auch

• Parallelstichproben

Weblink

• http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss04/statistik1/skript/node49.html

Literatur

• George Snedecor und William Cochran: Statistical methods. Iowa State University Press, 1989, ISBN 0813815614.
• Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21271-X.

en:Paired_difference_test